Question

Folge divergent Supremumnorm

Aufrufe: 875 Aktiv: 13.04.2020 um 21:54

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Hallo, ich soll zeigen das eine Folge bezüglich ||•||∞ divergent ist. Die Aufgabenstellung lautet wie folgt: Die Folge ist in C([−1, 1]) betrachten Sie die Folge (fk) k∈N mit fk(x) = (kx^2)/(1 + kx^2) , k ∈ N, x ∈ [−1, 1]. Ich bedanke mich bereits für die Antworten, bin schon sehr darauf gespannt:)

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gefragt 13.04.2020 um 18:26

lisasophie
Punkte: 12

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2 Antworten

digamma · Answer 1 · 2020-04-13T18:50:45Z

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Die Folge konvergiert überall, außer an der 0, punktweise gegen 1. An der 0 ist sie aber konstant 0. Die Grenzfunktion ist also an der Stelle 0 nicht stetig, deshalb kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein

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geantwortet 13.04.2020 um 18:50

digamma
Lehrer/Professor, Punkte: 7.74K

Konvergiert sie nicht überall außer an den Grenzen gegen 0? ─ sterecht 13.04.2020 um 18:55

Nein, der Funktionsgraph wird für wachsendes k immer mehr in x-Richtung gestaucht. Das "Tal" wird also immer enger und steiler. ─ digamma 13.04.2020 um 19:50

Für `x \ne 0` ist `(kx^2)/(1 + kx^2) = 1/(1/(kx^2)+1)`. Für `k \to infty` geht `1/(kx^2)` gegen 0 und deshalb der ganze Bruch gegen 1. ─ digamma 13.04.2020 um 21:30

Stimmt, tut mir leid. Bin heute irgendwie unkonzentriert. ─ sterecht 13.04.2020 um 21:50

Macht nichts :) ─ digamma 13.04.2020 um 21:54

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sterecht · Answer 2 · 2020-04-13T18:53:57Z

Ich nehme mal an, du sollst die Funktionenfolge auf gleichmäßige Konvergenz überprüfen. Die Funktionenfolge konvergiert gegen

\(f\colon [-1,1]\to\mathbb R, \ x\mapsto\begin {cases}0&\text { falls } x=0\\1&\text { falls }x\neq0.\end {cases}\).

Diese Funktion ist nicht stetig, alle \(f_k\) sind es aber. Folglich kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein, denn gleichmäßige Limiten stetiger Funktionen sind stetig. Deshalb haben wir gleichmäßige Konvergenz ja überhaupt eingeführt.

Falls du die Aussage direkt mit der Definition zeigen möchtest, setze \(\varepsilon=\frac12\). Da \(f_k (0)=0, f_k (1)=1\) für alle \(k\), gibt es ein \(0 <x <1\) mit \(f_k (x)=\frac12\) nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen. Dann ist \(||f_k-f||_\infty\geq|f_k (x)-f (x)|=\frac12\geq\varepsilon.\)