Deine Fallkonstante ist denke ich eher das \( k \), weil das \( t \) ja gerade der vergangenen Zeit entspricht.

Wir wissen nach \( t = 1600 \) Jahren ist die Hälfte der Atomkerne zerfallen. Entsprechend ist \( N(1600) = \frac{1}{2} \cdot N(0) \). Damit kannst du das einsetzen und erhältst die Gleichung:

\( \frac{1}{2} = e^{-k \cdot 1600} \)

Das ganze nun mit dem Logarithmus auflösen und nach \( k \) umstellen.

Ich würde N0 auf die andere Seite bringen durch Division und dann beide Seiten zur Basis e Logarithmieren: 

ln(N(t)/N0)= ln(e^-k*t)

jetzt kannst du gemäß Logarithmus Gesetze die Linke Seite so bearbeiten: 

ln(N(t)/N0)= ln(e) *-k*t

und da der ln(e)=1 ist folgt durch Division mit -k: 

t=ln(N/NO)/-k

PS: der Zähler kann auch als Differenz geschrieben werden (vgl. Logarithmusgesetze)

noch ne frage? Gerne melden!