Ich habe Probleme bei dieser Aufgabe

Aufrufe: 830     Aktiv: 16.04.2020 um 17:19
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Gegeben sei ein Dreieck mit den Seiten a,b,c und den gegenüberliegenden Eckpunkten A, B, C. Sei PSH der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Beweisen Sie folgende Formel für den Abstand dieses Punktes zu den Eckpunkten des Dreiecks: |APSH| ^2=[2*(b^2+c^2)-a^2]:9 Man müsste irgendwie den Satz vom Seitenhalbierendenschnittpunkt und den kosinussatz anwenden. Aber ich habe keine Ahnung wie..
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1 Antwort
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Da der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1 teilt, ist die Behauptung äquivalent zu `s_a^2 = 1/2 (b^2 +c^2) - 1/4  a^2`, wobei `s_a` die Seitenhalbierende der Seite `a` ist. Hilft das weiter?

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Ein Beweis für diese Aussage findet sich hier: https://books.google.de/books?id=EG6qCAAAQBAJ&pg=PA63#v=onepage&q&f=false   ─   digamma 16.04.2020 um 12:33
Aber wie kommt man auf die gleichung von der seitenhalbierende a? Und dann müsste man ja nur noch diese gleichung von der seitenhalbierenden durch 2 teilen damit man die strecke AP hat oder?   ─   anonym3630b 16.04.2020 um 16:24
Die Strecke AP ist nicht die Hälfte, sondern 2/3 der Seitenhalbierenden. Dier Aussage `s_a^2 = 1/2 (b^2 +c^2) - 1/4 a^2` ist unter dem Namen Satz von Apollonios bekannt. Ich habe dir oben einen Beweis davon verlinkt.   ─   digamma 16.04.2020 um 16:49
Alles klar, danke :)
Aber warum ist die strecke AP 2/3 von der seitenhalbierenden? Bzw wie kommt man darauf?   ─   anonym3630b 16.04.2020 um 16:54
Das ist eine bekannte Aussage über den Seitenhalbierendenschnittpunkt. Ich dachte, das ist das, was du mit "Satz vom Seitenhalbierendenschnittpunkt" meinst.   ─   digamma 16.04.2020 um 16:58
Achso ok, das wusste ich noch nicht. Aber wir sollen das ja irgendwie beweisen   ─   anonym3630b 16.04.2020 um 17:19

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