Inverse Abbildung bilden

Erste Frage Aufrufe: 778     Aktiv: 23.04.2020 um 14:07
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Hallo miteinander,

ich besitze folgendes Problem.

Sei \( (G, *) \) eine Gruppe und \( h \in G \). Sei ferner \( \varphi: G \rightarrow G, \; \varphi(g):=h^\prime * g * h \).

Nun muss ich zeigen, dass \( \varphi \) bijektiv ist. Ich weiß, dass folgendes gelten muss:

\( (\varphi \, \circ \, \varphi^{-1})(g)=id_G \) bzw. \( (\varphi^{-1} \, \circ \, \varphi)(g)=id_G \)

Aber wie komme ich zu \( \varphi^{-1}\) ?

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Es gilt \(\varphi(g)=h^{-1}*g*h\). Dann gilt \(h*\varphi(g)=g*h\) und weiter \(h*\varphi(g)*h^{-1}=g\). Also ist \(\varphi^{-1}(g)=h*g*h^{-1}\).

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Okay und dadurch
\((\varphi^{-1} \, \circ \, \varphi)(g)=\varphi^{-1}(\varphi(g))=\varphi(h^\prime * g * h)=h*h^\prime*g*h*h^\prime=g=id_G\)

Analog dazu die andere Richtung. Richtig?
Aber wieso \(\varphi^{-1}(g)=h*g*h^\prime\) und nicht \(\varphi^{-1}(g)=g*h*h^\prime\), da man doch erst \(\cdot h\) und dann \(\cdot h^\prime\) als Umformung benutzt, oder?   ─   kowa 23.04.2020 um 00:05
Es handelt sich ja nicht um eine kommutative Gruppe. Deshalb müssen wir h von links und h' von rechts verknüpfen.   ─   benesalva 23.04.2020 um 08:07
Schreibt ihr tatsächlich `h'` für `h^(-1)`?   ─   digamma 23.04.2020 um 09:16
@benesalvatore Für manche ist es ein kleiner Schritt. Für mich war es ein gewaltiger, danke!
@digamma In Lineare Algebra I - Ja und in Lineare Algebra II - Nein. :D   ─   kowa 23.04.2020 um 14:07

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