Wir starten mit der Funktion \(N(t) = N_0 \cdot a^t \).

\(N_0\) ist eine Konstante, die die Anfangsmenge beschreibt. Die kannst du für die Aufstellung der Gleichung erstmal vernachlässigen; wichtig ist nur, dass sie am Ende in der Funktionsgleichung als Koeffizient mit aufgeführt wird.

t ist die Zeit in Stunden. Nach 48 Stunden ist nur noch 0,1% des Wirkstoffes vorhanden. Der Teil \(a^t\) der obigen Funktion gibt den vorhandenen Anteil des Wirkstoffes an. Durch die Multiplikation mit der Konstante \(N_0\) erhält man dann die \(N(t)\), die Menge des Wirkstoffes zum Zeitpunkt \(t\).

Warum braucht man diesen exponentiellen Zusammenhang? Zum Zeitpunkt \(t=0\), also zum Zeitpunkt der Einnahme, soll natürlich noch alles vom Wirkstoff vorhanden sein, also 100% bzw. 1. Also ist \(N(0) = N_0\) zwingend erforderlich. So etwas realisiert man immer mit einer Exponentialfunktion; durch das \(t\) im Exponenten erhält man für \(t=0\) den Faktor 1, da \(a^0 = 1\) für beliebiges \(a\).

Nun aber zurück zu der Vorgabe, dass nach 48 Stunden nur noch \( 0,1% = \frac{0,1}{100} = \frac{1}{1000} = 0,001\) des Wirkstoffes vorhanden ist. Wir erhalten dadurch die Gleichung

\( 0,001 = a^48\).

Nun muss man die 48-te Wurzel ziehen um a zu erhalten (das überlassen wir natürlich dem Taschenrechner). Wir erhalten damit für a:

\( a = \sqrt[48]{0,001} \approx 0,8659\).

Damit erhalten wir die Funktionsgleichung:

\( N(t) = N_0 \cdot (\sqrt[48]{0,001})^t\).

Dies (oder so, wie es in der Musterlösung mit den 0,8659... in der Basis steht), ist nicht so schön. Stattdessen möchte man gerne diese Exponentialfuntkion als e-Funktion darstellen. Dies kann man wie folgt machen (ich schreibe hier mal 0,8659 und verzichte auf die "..." für die Übersichtlichkeit):

\( 0,8659^t = \left( e^{ln(0,8659)}\right)^t = e^{ln(0,8659)t}\).

Wenn man den Taschenrechner zur Hilfe nimmt erhält man:

\( ln(0,8659...) = -0,1439... \).

Also können wir unsere Funktion auch umschreiben zu:

\( N(t) = N_0 \cdot e^{-0,1439... \cdot t}\).

Nun geht es noch um die Halbwertszeit. Die Halbwertszeit gibt an, zu welchem Zeitpunkt nur noch die Hälfte des Wirkstoffes vorhanden ist. Da dies unabhängig von der Anfangsmenge \(N_0\) ist, müssen wir hier auch nur die e-Funktion betrachten. Wir wollen wissen, wann \(N_0\) mit \(0,5\) multipliziert wird, so dass \(N(t)\) der Hälfte der Anfangsmenge entspricht. Die Gleichung lautet also:

\( 0,5 = e^{-0,1439... \cdot t}\).

Anwendung des natürlichen Logarithmus (\(ln\)), und anschließende Division beider Seiten mit \(-0,1439...\) liefert als Halbwertszeit

\( t = 4,816...\). 

Dieses \(t\) ist die Halbwertszeit in Stunden.