Ist dir das Konzept der Polynomdivision bekannt? Falls ja, so könntest du feststellen, dass beide Polynome an der selben Stelle eine Nullstelle haben, diese als Linearfaktor rausziehen und vorab kürzen. :)
Ansonsten musst du ganz normal mit der Quotientenregel ableiten. Auch wenn dadurch viel zu rechnen ist wirst du am Ende die Möglichkeit haben, geschickt zu kürzen.  

Ergänzend zu Antwort 1) noch ein paar Zwischenergebnisse zum Vergleichen:

Schritt 1) Nullstellen des Zählers bestimmen.

Hierzu ist es notwendig eine Polynomdivision durchzuführen, um den Grad des Polynoms zu reduzieren.

Ergebnis: \( x^3-7x^2+14x-8 : (x-2)=x^2-5x+4 \)

Die Nullstellen sind somit:

x_1=2

x_2=4

x_3=1

Mittels Linearfaktorzerlegung lässt sich der Zähler wie folgt schreiben: \( x^3-7x^2+14x-8=(x-1)(x-2)(x-4) \)

Schritt 2) Nullstellen des Nenners bestimmen:

Ergebnis:

x_1=5

x_2=2

Mittels Linearfaktorzerlegung lässt sich der Nenner wie folgt schreiben: \( x^2-7x+10=(x-5)(x-2) \)

Nun kannst du wie in Antwort 1) bereits beschrieben den Term (x-2) kürzen.