Beweisen wir das ganze einfach mal. Die Ableitung in einem Punkt lässt sich mit dem Differenzenquotienten bestimmen (h-Methode). Wir erhalten:

\( (e^x)' = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x+h} - e^{x}}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot e^{h} - e^{x}}{h} = \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^{x} \cdot (e^h - 1)}{h} = e^x \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} \)

Die eulersche Zahl \(e\) lässt sich unter anderem wie folgt definieren:

\(e\) ist die einzige Zahl, für die gilt: \(\lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = 1\).

Damit erhalten wir also für die Ableitung insgesamt:

\( (e^x)' = e^x \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} \frac{e^h - 1}{h} = e^x \cdot 1 = e^x \).

Die Ableitungen von Funktionen wie \(e^{2x}\) usw. ergeben sich dann aus der obigen Erklärung sowie der Anwendung der Kettenregel :)