Achtung der Grad deiner Funktion entspricht der Anzahl aller (reell und komplex) Nullstellen. (Vielfachheit mitgezählt)

zu b)

Die Funktion hat prinzipiell 4 Nullstellen (2 reelle und 2 komplexe):

\( x_1=+0 \)

\( x_2=-0 \)

\( x_3=i \)

\( x_4=-i \)

Da dein Definitionsbereich \( D_f=\mathbb{R} \) und \( +0=-0 \) ist hast du bei b) eine reelle Nullstelle.

Etwas ausholend mal eine Erklärung für die Erzeugung solcher Polynome:

Ein Polynom p kann man in seine Linearfaktoren zerlegen. Seien \(N_1,N_2,N_3\) und \(N_4\) die Nullstellen eines Polynoms 4. Grades. Die Nullstellen müssen dabei nicht zwingend verschieden sein. Darüber hinaus können die Nullstellen auch komplexe Zahlen sein, die wir nicht betrachten, was dazu führt, dass du bei a) "keine Nullstellen" hast. In Wirklichkeit hat auch die Funktion in a) Nullstellen, es sind dann aber komplexe Nullstellen, die man nicht betrachtet.

Gehen wir nun mal davon aus, dass alle Nullstellen reell sind. Dann lässt sich p schreiben als:

\( p(x) = (x-N_1) \cdot (x-N_2) \cdot (x-N_3) \cdot (x-N_4)\).

Du kannst jetzt aber z.B. sagen, dass \(N_1 = N_2 = N_3 = N_4 = 1\) gelten soll. Dann lässt sich p wie folgt schreiben:

\( p(x) = (x-1) \cdot (x-1) \cdot (x-1) \cdot (x-1) = (x-1)^4\).

Dies ist ein Polynom 4. Grades, welches nur eine Nullstelle hat, nämlich bei \(x=1\). Du kannst dieses Polynom mit Hilfe der binomischen Formeln umschreiben, so dass p in der Gestalt

\( p(x) = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx +e \) 

ist. Wenn du zwei Nullstellen haben willst, kannst du dir ein ähnliches Beispiel konstruieren, z.B. mit Nullstellen bei x=1 und x=-1. Dann könnte das Polynom z.B. so aussehen:

\(p(x) = (x-1)^2 \cdot (x+1)^2 \)

oder auch 

\(p(x) = (x-1)^3 \cdot (x+1) \).

Der Exponent beschreibt die sogenannte "Vielfachheit der Nullstelle". Die kannst du in diesem Fall beliebig variieren; die Summe aller Exponenten sollte nur 4 ergeben für ein Polynom 4. Grades ;-)

Bei Aufgabenteil d) und e) hast du das Beschriebene schon super umgesetzt, denn bei deiner Antwort für d) gilt:

\( f(x) = x^2 (x-2)(x+2) = (x-0)^2(x-2)(x+2)\)

Du hast also eine Nullstelle bei x=0 mit Vielfachheit 2 gewählt :)

Bei e) ist ebenfalls \(x = (x-0)\), womit du auch eine Zerlegung des Polynoms in Linearfaktoren erzeugt hast.

Bei den Lösungen von b) und c) wurde das Prinzip nicht angewendet, aber auch diese Lösungen sind korrekt, denn: Ein Produkt zweier Terme ist Null, wenn einer der Terme Null ist.

Bei b) hat \(x^2 = (x-0)^2\) eine doppelte Nullstelle bei x=0, \(x^2 + 1\) hat keine reellen Nullstellen. Also gibt es für das Produkt auch nur eine reelle Nullstelle: x=0.

Bei c) geht das genauso: \(x\) ist Null für \(x=0\), \(x-2\) ist Null für \(x=2\) und \( x^2+1\) hat keine reellen Nullstellen. Wir haben also insgesamt zwei Nullstellen: \(x_{0,1}=0\) und \(x_{0,2}=2\).