Taylor Series

Aufrufe: 574     Aktiv: 27.04.2020 um 16:06
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Entwickeln Sie die Funktion y(x) = ln x in eine Taylor-Reihe um den Punkt x = 1 und bestimmen Sie den Konvergenzbereich. Finden Sie einen Näherungswert f ür ln(5/2), indem sie die ersten 5 Glieder der Reihe behalten.

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Die allgemeine Formulierung für die Taylorreihe lautet:

\( T(x,x_0) = f(x_0) + f'(x_0)\cdot (x-x_0) + \frac{1}{2} \cdot f''(x_0) \cdot (x-x_0)^2 + ... + \frac{1}{n!} \cdot f^{(n)}(x_0) \cdot (x-x_0)^n \)

Nun hast du als Funktion den Logarithmus gegeben und als Entwicklungspunkt \( x_0 = 1 \). Nun musst du also zur Bestimmung des Taylorpolynoms den Logarithmus ableiten.

Für den Konvergenzbereich könnte man z.B. den Konvergenzradius der Taylorreihe bestimmen.

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Ja ich habe schon den Konvergenzbereich gefunden, aber ich weiß nicht, wie ich einen Näherungswert finden kann.   ─   aydin123 27.04.2020 um 16:03
Du bildest das Taylorpolynom bis zum 5. Folgenglied und setzt dann für \( x = \frac{5}{2} \) ein. Der Wert, den das Taylorpolynom dafür annimmt ist eine entsprechend gute Approximation für den gesuchten Funktionswert der Logarithmus-Funktion.   ─   el_stefano 27.04.2020 um 16:06

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