Hallo,
meinst du wie man auf \( z_{1-\frac {\alpha} 2} = -1{,}6449 \) kommt?
Um von einer beliebigen Normalverteilung in die Standardnormalverteilung zu transformieren, rechnet man
$$ Z = \frac {X- \mu} {\sigma} $$
Wenn wir das nach \( X \) umstellen, erhalten wir
$$ X = \sigma \cdot Z + \mu $$
Nun geht es darum, das wir die Grenzen berechen, in denen \(90\%\) aller Werte liegen. Wenn \( 90\% \) im Intervall liegen sollen, dann müssen \( 10\% \) außerhalb liegen. Da die Normalverteilung symmetrisch ist, liegen auf jeder Seite außerhalb des Intervalls \(5\% \) der Werte.
Das bedeutet, wir wollen das 0,05- und 0,95 Quantil berechnen. Die Standardnormalverteilung können wir aus der Tabelle der Standardnormalverteilung ablesen.
Wir suchen nun die beiden Werte aus der Tabelle, für die die Wahrscheinlichkeit unter \( 5\% \) bzw. über \( 95\% \) liegt. Es gilt
$$ \Phi( 1{,}64) = 0{,}94950 $$
und
$$ \Phi(1{,}65 ) = 0{,}95053 $$
In der Aufgabe scheinen die noch eine exaktere Tabelle zu haben. Mit der aus Wikipedia müssen uns diese beiden Werte reichen. Wir müssen jetzt runden und gucken welcher Wert näher liegt.
$$ z_{0{,}95} \approx 1{,}64 $$
Nun gilt durch die Symmetrie
$$ \Phi(-z) = 1 - \Phi(z) $$
also erhalte wir den Wert des 0,05-Quantils durch das negative Vorzeichen
$$ z_{0{,}05} \approx -1{,}64 $$
Falls doch noch etwas unklar ist melde dich gerne nochmal.
Grüße Christian
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