Lineare Unabhängigkeit liegt vor, wenn das Gleichungssystem

\( \left(\begin{array}{} 0\\ 0\\ 0 \end{array}\right) = \lambda_1 \cdot \left(\begin{array}{} 1\\1\\1\end{array}\right) + \lambda_2 \cdot \left(\begin{array}{} 1\\3\\1 \end{array}\right) + \lambda_3 \cdot \left(\begin{array}{}  1\\2\\k^2\end{array}\right) \)

nur die triviale Lösung \(\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = 0 \) hat.

Dieses Gleichungssystem kannst du lösen und an geeigneter Stelle wirst du eine Einschränkung für \(k\) treffen können, so dass nur diese triviale Lösung möglich ist. 

Hey Artur,

die 3 Vektoren sind linear abhängig, wenn es 3 Zahlen \( \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 \) gibt, die nicht alle gleich 0 sind und folgende Gleichung gilt:

\( \lambda_1 \cdot a + \lambda_2 \cdot b + \lambda_3 \cdot c = 0 \)

Jetzt kannst du somit ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen aufstellen:

(I) \( \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \)

(II) \( \lambda_1 + 3\cdot \lambda_2 + 2\cdot \lambda_3 = 0 \)

(III) \( \lambda_1 + 2\cdot \lambda_2 + k^2 \cdot \lambda_3 = 0 \)

Jetzt kannst du den Gauß Algorithmus anwenden, um das Gleichungssystem zu lösen. Den ersten Schritt davon gebe ich dir mal.

(I) \( \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \)

(II - I) \(  2\cdot \lambda_2 + \lambda_3 = 0 \)

(III - I) \( \lambda_2 + (k^2 - 1) \cdot \lambda_3 = 0 \)

Jetzt musst du noch weiter machen und \( \lambda_2 \) aus der letzten Zeile eliminieren.

Am Ende wird deine 3. Zeile von \( k \) abhängen und daran musst du auch unterscheiden, für welche \( k \) die Vektoren linear abhängig sind und wann eben nicht. Sie sind linear abhängig, wenn in der letzten Zeile eine Aussage \( 0 \cdot \lambda_3 = 0 \) auftaucht. Für alle anderen Fälle hat das Gleichungssystem genau eine Lösung, nämlich \( \lambda_1 = 0, \lambda_2 = 0, \lambda_3 = 0 \) und in dem Fall sind deine Vektoren linear unabhängig.