Bei (d) sollst du nun einen Vektor parallel zu den Tangenten an den in Aufgabe (c) berechneten Schnittpunkte ermitteln.

Dafür berechnest du zunächst den Anstieg der Tangenten in den Punkten P und Q, in dem du deine Parabel aus Aufgabe (a) ableitest und anschließend die x-Koordinate deiner Schnittpunkte P und Q in die 1. Ableitung einsetzt.

Damit hast du die beiden Anstiege \( m_P \) und \( m_Q \).

Jetzt muss man wissen, dass man man den Anstieg auch in Vektorform schreiben kann. Der Anstieg ist ja gerade die Änderung entlang der y-Achse, geteilte durch die Änderung entlang der x-Achse, oder in Vektorform

\( m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \left(\begin{array}{c} \Delta x \\ \Delta y \end{array}\right) \).

Also ist dein Anstieg z.B. \( m = 2 \), dann lautet die Vektorschreibweise davon \( \left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \end{array}\right) \). Ist dein Anstieg z.B. \( m = -\frac{3}{4} \), dann ist die Vektorschreibweise \( \left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) \).

(Ich hoffe das Prinzip ist klar, wenn nicht, dann einfach nochmal fragen)

So zuletzt musst du nun noch die jeweils parallelen Vektoren zu deinen Tangenten bestimmen. 2 Vektoren sind dann parallel, wenn sie linear abhängig sind. Das heißt, wenn du \( m_P \) und \( m_Q \) in Vektorform hast (wie oben beschrieben), dann hast du eigentlich einen parallelen Vektor zu den Tangenten bestimmt, ansonsten wäre auch jedes Vielfache dieser Vektoren wiederum parallel zu den Tangenten.

Hey Alissa,

Deine Geradengleichung in Parameterform sieht wie folgt aus:

\( r: \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 0,5 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \end{array}\right) \)

Die erste Zeile der Geradengleichung gibt dir somit die x-Koordinate und die 2. Gleichung die y-Koordinate aller Punkte einer Gerade. Genauso ist es bei deiner in Koordinatenform gegebenen Parabel. Bloß, dass du hier die y-Koordinate berechnest, in dem du einen Wert für x in die Funktionsgleichung einsetzt.

Schnittpunkte zwischen Gerade und Parabel haben nun die Eigenschaft, dass sie die gleiche x- und y-Koordinate besitzen. Demzufolge kannst du die Zeilen der in Parameterform gegebenen Geradengleichung in deine Parabel für x und y einsetzen.

Demnach gilt (Bem. ich habe jetzt nicht nachgerechnet, ob deine Parabelgleichung so stimmt, ich nehme es jetzt einfach an und benutze deine Gleichung)

\( f(x) = y = -0,5x^2 - x + 1,5 \Leftrightarrow 0,5 + 1t = -0,5\cdot (-1 + 1t)^2 - (-1+1t) + 1,5 \)

Diese Gleichung hängt jetzt nur noch von \( t \) ab. Etwas umgestellt steht dort

\( 0,5 + t = -0,5(t^2 -2t +1) - (-1+t) + 1,5 \Leftrightarrow 0,5 + t = -0,5t^2 + t - 0,5 +1 - t + 1,5 \)

Wenn du die linke Seite nun noch auf die andere Seite bringst und zusammenfasst, dann steht dort.

\( 0 = -0,5t^2 - t + 1,5 \)

Damit hast du eine quadratische Gleichung, die du lösen kannst (z.B. mit der pq-Formel oder Mitternachtsformel, etc.). Dadurch erhältst du 2 Werte für t. Diese musst du nun in deine Geradengleichung anstelle von t einsetzen und bekommst damit deine 2 Schnittpunkte.