Ich kann das nicht beweisen!!

Aufrufe: 534     Aktiv: 05.05.2020 um 20:48
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Es sei K ein Körper, V ein endlich-erzeugter K-Vektorraum, und ϕ ∈ End-k(V). Zeigen Sie: ist t ∈ K Eigenwert von ϕ und f ∈ K[X], so ist f(t) ein Eigenwert von f(ϕ).

 

ich komme hier gar nicht weiter!

Danke für eure Hilfe im Voraus!

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setz doch einfach einen eigenvektor von phi ein in f(phi)

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Student, Punkte: 2.33K

 
es gilt ja phi^k(v)= phi(phi(..phi(v))))) für k natürliche zahl. also tut die funktion f(phi) folgendes: phi verschieden oft auf den gegebenen vektor anwenden und dann zusammenaddieren. wenn man jetzt also einen eigenvektor v zum gegebenen eigenwert t nimmt, dann ist ja phi(phi(..phi(v)))))=(t^k)*v. wenn man also die funktion f(phi) betrachtet, muss f(phi(v))= a*v für einen speziellen vorfaktor a ergeben (a=f(t))

idee dabei ist, dass das einfachste kriterium um einen eigenwert nachzuweisen ein eigenvektor ist, der eben diesen eigenwert hat. und wenn man sich den eigenvektor v von phi nimmt, dann kann man an der struktur von f(phi) sehen, dass die funktion den eigenvektor nur skalieren kann aber nicht einzelne zeileneinträge anders als andere verändern kann (wenn man sich das bspw als R^n vorstellt)   ─   b_schaub 05.05.2020 um 20:46
wenn du dir noch unsicher bei den beweisen bist, dann ist mein tipp die definitionen und sätze aus der vorlesung möglichst oft zu wiederholen und zu verstehen. vorallem bei den beweisen der sätze immer überlegen wie die und die schlussfolgerung jetzt möglich war   ─   b_schaub 05.05.2020 um 20:48

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