Aus 3|a² folgt 3|a

Aufrufe: 523     Aktiv: 06.05.2020 um 15:20
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Hallo Leute.

Die Aufgabenstellung lautet: Eine Zahl ist a ∈ Z durch 3 teilbar (in Zeichen 3 | a), falls es ein k ∈ Z gibt mit a = 3k.
(a) Zeigen Sie für alle a ∈ Z: Aus 3 | a² folgt 3 | a.

Meine erste Überlegung war, den Kontrapositionsbeweis zu benutzen, also statt A⇒B,   ¬B⇒¬A zu beweisen. Ich bin dann aber schon daran gescheitert , wie man zeigt, dass ¬B gilt.

Welche Beweistechnik empfiehlt sich hier am besten und warum?

 

LG 

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Student, Punkte: 22

 
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Das kann man denke ich ganz einfach über die Primfaktorzerlegung argumentieren.

Aus \( 3 | a^2 \) folgt, dass ein \( k \in \mathbb{N} \) existiert mit \( 3\cdot k = a \cdot a \). Also enthält mindestens einer der Faktoren von \( a \cdot a \) die 3 als Primfaktor (also da es sich um eine Zahl \( a \) handelt sogar beide \). Demzufolge ist auch 3 ein Teiler von \( a \).

 

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M.Sc., Punkte: 6.68K

 
vielen Dank Ihr Beiden. Das hat mir sehr geholfen. Ich hab das hier noch nicht so mit den Antwortbewertungen raus   ─   jh 06.05.2020 um 15:20

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