Hey,

merke dir doch für diesen Zusammenhang eins: "Jedes Maximum ist ein Supremum, aber nicht jedes Supremum ein Maximum."

Analog gilt das auch für Minimum und Infimum. Der Unterschied ist, dass ein Maximum/Minimum ein Element der betrachteten Menge (in deinem Fall also des Wertebereiches) sein muss, während das für Supremum / Infimum nicht der Fall sein muss.

Schauen wir uns das mal exemplarisch für (a) an:

Deine Funktion ist ein Bruch, wo der Nenner in Abhängigkeit von \( x \) steht. Ein Bruch wird in den Fall maximal, wenn der Nenner minimal ist. Das ist der Fall, wenn \( x =  0 \) gilt. Dann lautet der Funktionswert an der Stelle \( f(0) = 2 \). Somit ist die 2 deine kleinste obere Schranke, also dein Supremum und da der Funktionswert sogar angenommen wird, ist es auch dein Maximum.

Sowohl für \( x \rightarrow \infty \), also auch für \( x \rightarrow -\infty \) kann man aufgrund des Betrages unter der Wurzel die gleiche Betrachtung durchführen. Hier wird die Wurzel immer größer und strebt im Grenzwert sogar gegen unendlich. Dadurch wird der Nenner des Bruches ebenfalls immer größer. Insgesamt geht dadurch der Funktionswert gegen 0. Aber hier ist jetzt auch der Unterschied. Deine größte untere Schranke ist in diesem Fall die 0. Demzufolge ist 0 das Infimum der Funktion. Da dieser Wert aber für kein \( x \) des Definitionsbereiches angenommen wird, handelt es sich hierbei nicht um ein Minimum der Funktion.