Okay, ich denke die Fragestellung ist mir jetzt klar geworden.

Wir gehen induktiv vor:

\(n=1\): Sei \(v_1 \in \mathbb{R}^3\) nicht Null, dann finden wir ein \(i \in \{1,2,3\}\), sodass für die Projektion \( \pi_i: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, (x_1,x_2,x_3) \rightarrow x_i \) gilt: \( \pi_i(v_1) \neq 0\). Da die Projektion \(\pi_i\) linear ist, ist somit der Induktionsanfang gezeigt.

\(n \rightarrow n+1\): Seien \(v_1, \dots v_{n+1} \in \mathbb{R}^3\) nicht Null. Wir nehmen an (Induktionsannahme), dass wir für \(v_1, \dots, v_{n}\) eine lineare Abbildung \(f\) finden mit \(g(v_j) \ne 0\) für alle \(j \in \{1, \dots, n\}\). Wir nehmen im Folgenden an, dass \(g(v_{n+1})=0\) ist, denn sonst erhalten wir bereits mit \(g\) die gewünschte lineare Abbildung und sind fertig. Da nach Voraussetzung \(v_{n+1} \neq 0\) ist, gibt es eine Projektion mit \(\pi_i(v_{n+1}) \neq 0\). Für \(j \in \{1, \dots, n\} \) gilt \( (\pi_i + r \cdot g)(v_j)=\pi_i(v_j)+r \cdot g(v_j) = 0 \Leftrightarrow r = - \frac{\pi_i(v_j)}{g(v_j)} \). Da \( M:=\{-\frac{\pi_i(v_j)}{g(v_j)} \vert i \in \{1, \dots n\} \} \) endlich ist, können wir ein \(r \notin M \) wählen. Somit erhalten wir \( (\pi_i + r \cdot g)(v_j) \neq 0 \) für alle \(j \in \{1, \dots, n\} \) und außerdem auch \( (\pi_i+r \cdot g)(v_{n+1}) = \pi_i(v_{n+1}) + r \cdot g(v_{n+1}) = \pi_i(v_{n+1}) \neq 0\). Da die Abbildung \( \pi_i  + r \cdot g \) linear ist, ist somit der Induktionsschritt gezeigt. 

Du denkst wahrscheinlich zu kompliziert, denn eigentlich ist die Sache ganz einfach. Betrachte zum Beispiel die Abbildung \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}\) mit \( f(x,y,z)=x \).