Mir wäre keine Möglichkeit bekannt, wie das gehen soll. Wenn wir den natürlichen Logarithmus nehmen, also den zur Basis \(e\), dann wirst du das händisch nicht rauskriegen. Ein paar wenige Werte bzw. eigenschaften solltest du halt wissen, wie

\(log(e) = 1\), \(log(0) = 1\)

Oder dass es für Zahlen kleiner gleich 0 nicht definiert ist. 

gar nicht

man kann zeigen, dass sich log nicht als endliche verkettung von + , - , * , / , ^ darstellen lässt (auch wenn das sicher nicht so einfach ist, ich kanns nämlich nicht). ich denke mal das ist worauf du hinaus wolltest. allgemeine werte lassen sich also unmöglich ausrechnen weil da immer irgendwie unendlichkeit reinspielt (also zb sowas wie eine unendliche summe oder ein integral), also nicht mal vom pc exakt lösbar ist, sondern nur approximiert wird.

es gibt sogar ganz viele solcher funktionen, bei denen das nicht geht.

generell nennt man log trotzdem eine "elementare funktion", weil sie so oft eine rolle spielt (wenns dich interessiert, findest du bei google was dazu)