Welche Aussage ist richtig? Antisymmetrie, Asymmetrie

Aufrufe: 710     Aktiv: 12.05.2020 um 14:44
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1. Ist R antisymmetrisch, dann ist R auch asymmetrisch

2. Ist R antisymmetrisch, dann ist R transitiv

3. Ist R asymmetrisch, dann ist R auch antisymmetrisch

4. Ist R asymmetrisch, dann ist R auch transitiv

Meiner Meinung nach ist 2. Richtig, da R ja antisymmetrisch ist, wenn ab und bRa => a=b, und transitiv, wenn a|b und b|c dann a|c. Stimmt das?

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Schüler, Punkte: 44

 
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1 Antwort
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Hallo,

nein die Aussage 2 stimmt nicht. 

Betrachten wir die Relation

$$ R = \{ (a,b); (b,c) \} $$

dann ist die Menge Antisymmetrisch, da es keine Umkehrung gibt (\(bRa\) und \( cRb \)) , muss auch kein Element gleich sein. 

Die Relation ist aber nicht transitiv, da \( aRc \) nicht gegeben ist. 

Als Tipp: es ist keine Antwort mit der Transitivität. Folgt also eher die Asymmetrie aus der Antisymmetrie oder umgekehrt? Und warum ist das so? Mach dir für die Lösung noch einmal klar, warum die obige Relation Antisymmetrisch ist. 

Versuch dich mal. Wenn du nicht weiter kommst melde dich gerne nochmal.

Grüße Christian

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Ah okay, ich glaube jetzt habe ich es verstanden. Dann müsste es die 3. Sein? Also ist R asymmetrisch dann ist R auch antisymmetrisch   ─   lily10 12.05.2020 um 11:13
Ja genau. Und die Begründung? :)   ─   christian_strack 12.05.2020 um 11:14
Defintion Asymmetrie: wenn a in Relation zu b steht, dann gilt stets, dass b nicht in Relation zu a steht
Defintion Antisymmetrie: wenn a in Relation zu b steht und b in Relation zu a steht, gilt immer, dass a gleich b ist. Daraus könnte ja die Asymmetrie dann nicht folgen   ─   lily10 12.05.2020 um 14:31
Ja aber das wäre nur eine Begründung, wenn wir auch eine Begründung für meinen Tipp hätten. :p
Asymmetrie bedeutet
$$ aRb \Rightarrow \neg(bRa)) $$
Wenn wir aber niemals \( aRb \) und \( bRa \) gleichzeitig in unserer Relation haben, was passiert mit der Voraussetzung für die Antisymmetrie? Denk dran warum die Relation aus meiner ersten Antwort Antisymmetrisch ist.   ─   christian_strack 12.05.2020 um 14:44

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