Hallo,

ich möchte das n-te Tschebyscheff Polynom \(T_n(x) = \cos(n\arccos(x))\) mit den Extremstellen \(x_0,\dots,x_{n+1}\) durch Setzung von \(x=\cos(\theta)\) zur Form \(\prod\limits_{k=0}^n(x-x_k) = \frac{(x^2-1)\sin(n\theta)}{2^{n-1}\sin(\theta)}\) überführen.

Meine Idee ist dabei, dass mit dem n-ten Hauptkoeffizienten der Tschebyscheff-Polynome gilt: \(T_n'(x) = 2^{n-1}\prod\limits_{k=0}^n(x-x_k)\)(da es die Nullstellen der Ableitung sind). Aber wie bekomme ich das auf die erste Darstellung? Ich weiß noch, dass außerdem \(T_n'(\cos(\theta))=n\frac{\sin(n\theta)}{\sin(\theta)}\) gilt. Aber wie bekomme ich das n weg und wo kommt das \(x^2-1\; (=-\sin^2(\theta))\) her?

Ich hoffe, mir kann jemand helfen. Vielen Dank!