Interpolationsfehler bestimmen

Aufrufe: 2010     Aktiv: 12.05.2020 um 18:21
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Hallo liebe Community, 

Es ist gegeben folgende Wertepaare: 

x_i = -1; 0; 4

y_i = 2; -3; 9

Die Aufgabe ist, zunächst ein Interpolationspolynom p_2(x) durch diese Punkte zu bestimmen. Das habe ich gemacht mittels Newton und ich habe 16/25*x^2 -x + 9/5 erhalten.

Die weitere Aufgabe ist jetzt zu bestimmen ob es sich bei p_2(x) um eine angemessene Approximation für die Funktion f_1(x) = (9x)/(x-1)+1/10*x2-4x-30 handelt, mittels Interpolationsfehler.

Für den Interpolationsfehler haben wir folgende Formel gegeben:


Ich bin davon ausgegangen, dass n = 2, da unser Polynom, den Grad 2 hat. Daher habe ich bereits die 3. Ableitung von f_1(x) bestimmt. Wie es nun aber weitergeht ist mir unklar.

Für jede Hilfe bedanke ich mich schomal im voraus!!

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Student, Punkte: 17

 
willst du den maximalen Fehler berechnen?   ─   chrispy 12.05.2020 um 17:39
Leider ist in der Aufgabe nicht näher spezifiziert ob der maximale oder minimale Fehler betrachtet werden soll. Es wird lediglich gesagt, dass ich entscheiden soll, ob die Approximation angemessen ist und dafür den Interpolationsfehler nutzen. Ich denke allerdings mit dem maximalen Fehler sollte die Entscheidung zu treffen sein.   ─   unixmelo 12.05.2020 um 17:42
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1 Antwort
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Für den maximalen Fehler gilt dann natürlich:

\(\vert f(x)-p( x)\vert \leq \max\limits_{\xi\in[a,b]}\vert\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}\vert\cdot\max\limits_{\overline x\in [a,b]}\vert \displaystyle\prod_{i = 0}^n (\overline x-x_i)\vert, \quad  \forall x \in [a,b] \).

Kommst du damit weiter?

 

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Student, Punkte: 1.06K

 
Die Formel ist tatsächlich in der nächsten Aufgabe gegeben :D Ich wüsste nun aber nicht wie ich den Fehler abschätzen kann mit der Formel. Ich weiß das xi ein Wert aus dem Intervall ist und die dritte Ableitung eingesetzt werden muss. Was ich aber nicht verstehe ist wie ich die Produkte zu berechnen habe und wie der Bruch zu berechnen ist.   ─   unixmelo 12.05.2020 um 17:54
Naja, du hast dann 2 Funktionen, die du maximieren musst. Da bietet es sich an, die Nullstellen der jeweiligen Ableitungen zu bestimmen.   ─   chrispy 12.05.2020 um 17:56
Okay, die Nullstellen der beiden Ableitungen sind kein Problem. Werden die Nullstellen dann in die Formel eingesetzt?   ─   unixmelo 12.05.2020 um 17:58
Genau.   ─   chrispy 12.05.2020 um 17:59
Ehm, ja okay..   ─   unixmelo 12.05.2020 um 18:03
Was hast du denn raus?   ─   chrispy 12.05.2020 um 18:04
Also, für p_2(x) ist die dritte Ableitung 0 und für die dritte Ableitung von f_1(x) existieren keine Nullstellen.   ─   unixmelo 12.05.2020 um 18:10
Dann wird das Maximum der dritten Ableitung von \(\vert f_1\vert\), sofern sie denn stetig ist, an der Intervallgrenze angenommen. Dann musst du jetzt noch das Maximum der Funktion \(g(x) := \vert \displaystyle\prod_{i = 0}^n (x-x_i)\vert \) bestimmen.   ─   chrispy 12.05.2020 um 18:21

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