Ach du meine Güte. Das ist doch mein altes Mathe-Abi von 2019! :D So ein Zufall.

Bei b) verwendest du das, was du in a) rausgefunden hast. Demnach sind die Schnittpunkte mit den Achsen ja \(P_{k}(-\frac{1}{k},0), Q_{k}(\frac{1}{k},0)\) und \(R_{k}(0,8k)\). Setzt man nun 2k anstelle von k in diese Punkte ein, so kann man eine generelle Aussage darüber treffen wie die Funktion skaliert wird. Demnach gehen die Graphen von \(G_{2k}\) aus \(G_{k}\) hervor, indem man ihn um den Faktor \(2\) an der y-Achse streckt und um den Faktor \(\frac{1}{2}\) an der x-Achse staucht. Bei der Symmetrie stellst du eine Gleichungskette auf. Vorher musst du zeigen, das man die Funktion so umschreiben kann, wie es in b) gemacht wurde, sonst wirds bisschen schwieriger.

Behauptung: Die Graphen \(G_{k}\) und damit die Funktion \(f_{k}(x)\) ist achsensymmetrisch bezüglich der y-Achse \( \Leftrightarrow f_{k}(-x)=f_{k}(x) \)

Beweis: \[f_{k}(-x)=8k \cdot (k^2(-x)^2-1)^2 =8k \cdot (k^2x^2-1)^2=f_{k}(x)\]

Folge:  Die Funktion \(f_{k}(x)\) und damit die Graphen \(G_{k}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse.

Bei c) meine ich, dass die das Rechteck meinen, welches von den Achsenschnittpunkten begrenzt wird, also die Figur mit den Eckpunkten \(O(0,0), Q_{k}(\frac{1}{k},0), S_{k}(\frac{1}{k},8k)\) und \(R_{k}(0,8k)\)

Dieses Rechteck sollte man dann eben sich rotierend um beide Achsen vorstellen, wobei dann ein massiver Vollzylinder entsteht, einmal mit Höhe \(\frac{1}{k}\) und Radius \(8k\) und einmal mit Radius \(\frac{1}{k}\) und

Höhe \(8k\). Unsere Volumina sind also: \[V_{x,k}=\pi (8k)^2 \cdot \frac{1}{k}\] bzw.  \[ V_{y,k}= \pi \left( \frac{1}{k} \right)^2 \cdot 8k\] und wir suchen ein \(k\) für: \[V_{x,k}=V_{y,k}\]

was auf \(k=\frac{1}{\sqrt{8}}\) führen sollte.