Induktionsanfang und Behauptung bei einer besonderen Matrix

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Aufgabenstellung:

Berechnen Sie jeweils die k-te Potenz Ak = A·A·····A von A (A also k-mal multiplizieren) für alle k ∈N mittels vollständiger Induktion nach k. 

 

Ich habe die MAtrix weitesgehend verstanden. ICh versuch das mal hier auzuschreiben:

Wir nehmen als Besipiel R^6x6

A^1:

0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0

A^2:

0 0 1 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Wie wir sehen verschiebt sich die "1-Diagonale" immer um 1 nach rechts. Dies geht bis A^5:

A^5:

0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0

Ab A^6 wird eis zur Nullmatrix. Dies gilt für alle nxn matrizen. Also, nicth das es bei A^5 endet, sondern das jede Matrix ihre nullmatrix erreicht sobald bei A^k das n = k ist. Z.B. bei n = 3 ist die "letzte" 1 bei A^2 und ab A^3 sind alle folgenden matrizen Nullmatirzen. Soweit so gut, wenn das richtig ist freue ich mich ^^ Tut mir leid für meine schwammigen Ausdrücke, ich bin noch nicht sehr bewandert mit mathematischen Termen.

Aber jetzt kommen wir zu meiner Frage: Ich soll das jetz per Induktion beweisen. Irgendwie habe ich keine Ahnung wie ich das was ich oben gesagt habe vernünftig mathematisch als Induktionsanfang und dann als Induktionsbehauptung fromuliere. Würde mich über Vorschläge und gute Hinweise freuen :)

 

 

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
q
anonym,
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2 Antworten
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am ende willst du ja stehen haben, dass (a_i,j = 1 für j=i+k und sonst 0) für jedes k gilt (das ist das was du zeigen willst)

ich würde im induktionsschritt einfach schauen, wie die erste zeile von der neuen matrix A^(k+1) aussieht, wenn ich weiß, dass A^k die gestalt aus der induktionsannahme hat. die anderen zeilen lassen sich dann ja analog berechnen, also gilt per induktion das was wir wollen

ps: "Wie wir sehen verschiebt sich die 1-Diagonale immer um 1 nach rechts." ist als ausdrucksweise voll in ordnung

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
a
aufjedebewertungeinschnaps
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Zu zeigen ist, dass für alle \(k \in \mathbb{N}\) die Einträge der Matrix \(A^k\) folgende Form haben:

\( a_{ij}^{(k)} = \begin{cases} 1 & j=i+k \\ 0 & sonst \end{cases} \)

Der Induktionsanfang für \(k=1\) ergibt sich direkt aus der Definition von \(A\).

Kommen wir nun zum Induktionsschritt. Dazu nehmen wir an, dass die Einträge der Matrix \(A^r\) für ein \(r \in \mathbb{N}\) bereits die Form

\( a_{ij}^{(r)} = \begin{cases} 1 & j=i+r \\ 0 & sonst \end{cases} \)

besitzen. Wegen \(A^{r+1} = A^r \cdot A \) ergibt sich dann auch für die Einträge von \(A^{r+1}\) die Form

\( a_{ij}^{(r+1)} = \sum_{h=1}^{n} a_{ih}^{(r)} \cdot a_{hj} = \begin{cases} a_{(i+r)j} & i+r \le n \\ 0 & i+r > n \end{cases} = \begin{cases} 1 & j=i+r+1 \\ 0 & sonst \end{cases} \)

wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen aus der Induktionsannahme erhalten, dass alle Summanden außer für \(h=i+r\) Null werden und für diesen Summanden (falls er existiert) \( a_{ih}^{(r)} \cdot a_{hj} = a_{i(i+r)}^{(r)} \cdot a_{(i+r)j}= a_{(i+r)j} \) gilt.

Und damit ist die Behauptung gezeigt.

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
g
anonym
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