am ende willst du ja stehen haben, dass (a_i,j = 1 für j=i+k und sonst 0) für jedes k gilt (das ist das was du zeigen willst)

ich würde im induktionsschritt einfach schauen, wie die erste zeile von der neuen matrix A^(k+1) aussieht, wenn ich weiß, dass A^k die gestalt aus der induktionsannahme hat. die anderen zeilen lassen sich dann ja analog berechnen, also gilt per induktion das was wir wollen

ps: "Wie wir sehen verschiebt sich die 1-Diagonale immer um 1 nach rechts." ist als ausdrucksweise voll in ordnung

Zu zeigen ist, dass für alle \(k \in \mathbb{N}\) die Einträge der Matrix \(A^k\) folgende Form haben:

\( a_{ij}^{(k)} = \begin{cases} 1 & j=i+k \\ 0 & sonst \end{cases} \)

Der Induktionsanfang für \(k=1\) ergibt sich direkt aus der Definition von \(A\).

Kommen wir nun zum Induktionsschritt. Dazu nehmen wir an, dass die Einträge der Matrix \(A^r\) für ein \(r \in \mathbb{N}\) bereits die Form

\( a_{ij}^{(r)} = \begin{cases} 1 & j=i+r \\ 0 & sonst \end{cases} \)

besitzen. Wegen \(A^{r+1} = A^r \cdot A \) ergibt sich dann auch für die Einträge von \(A^{r+1}\) die Form

\( a_{ij}^{(r+1)} = \sum_{h=1}^{n} a_{ih}^{(r)} \cdot a_{hj} = \begin{cases} a_{(i+r)j} & i+r \le n \\ 0 & i+r > n \end{cases} = \begin{cases} 1 & j=i+r+1 \\ 0 & sonst \end{cases} \)

wobei wir beim zweiten Gleichheitszeichen aus der Induktionsannahme erhalten, dass alle Summanden außer für \(h=i+r\) Null werden und für diesen Summanden (falls er existiert) \( a_{ih}^{(r)} \cdot a_{hj} = a_{i(i+r)}^{(r)} \cdot a_{(i+r)j}= a_{(i+r)j} \) gilt.

Und damit ist die Behauptung gezeigt.