Die Funktion \(\frac{1}{x}\) ist für \(x > 0\) monoton fallend. Damit lässt sich für alle \(n \in \mathbb{N}\) die folgende Abschätzung machen

\( \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx > \int_n^{n+1} \frac{1}{n+1} dx = \frac{1}{n+1} \)

Wir werden diese Ungleichung nun verwenden, um das vorgegebene Integral zu untersuchen. Es gilt

\( \int_1^{\infty} \frac{1}{x} dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_n^{n+1} \frac{1}{x} dx > \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+1} = \infty \)

Zur Sache mit dem Grenzwert: Wenn eine Reihe konvergiert, dann müssen ihre Glieder eine Nullfolge bilden. Die Rückrichtung gilt aber im Allgemeinen nicht. Beispielsweise bilden die Glieder der harmonischen Reihe \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \) eine Nullfolge, aber trotzdem divergiert die Reihe.