Wieso impliziert Nullteilerfreiheit, dass man kürzen draf?

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Seien \( a,e \in \mathbb{Z} \),  \(b,d,f \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} \) und es gilt \( afd = bed \). Da \(d \neq 0\) impliziert die Nullteilerfreiheit dann, dass \(af = be \) ist.

Wieso impliziert die Nullteilerfreiheit das? Das sagt mir doch nur, das es kein Element (außer \(0\)) gibt, dass mit \(d\) multipliziert \(0\) ergibt und damit \(afd \neq 0 \) und \(bed\neq 0\) ist. Aber um zu kürzen müsste man doch durch \(d\) teilen, was man aber nicht darf, denn in den ganzen Zahlen existieren im Allgemeinen keine Inverse. Wo ist mein Denkfehler? 

 

gefragt vor 3 Wochen
t
tobi1107,
Punkte: 16
 
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1 Antwort
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Du bringst die rechte Seite nach links, dann hast du `afd-bed = 0`. Dann klammerst du `d` aus: `(af-be)d = 0`. Und jetzt kommt die Nullteilerfreiheit ins Spiel. Da `d ne 0` gilt, muss die Klammer =  0 sein. Also `af-be = 0`, dh `af = be`.

geantwortet vor 3 Wochen
d
digamma verified
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Ah klar, das macht natürlich Sinn, Vielen Dank :)   -   tobi1107, vor 3 Wochen
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