Basis eines von linear abhängigen Vektoren aufgespannten Unterraums

Aufrufe: 57     Aktiv: vor 1 Woche, 3 Tage

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Hallo zusammen,

ich habe 3 Vektoren im \(R^4\) gegeben, die ich auf lineare Unabhängigkeit prüfen soll.

Die Vektoren sind \(a=(3, 0, 6, 3), b=(-3, 3, 0, -3)\) und \(c=(3, 6, 18, 3)\) (stehen natürlich in einer Spalte untereinander).

Diese habe ich schon überprüft und nach meinem Ergebnis sind alle voneinander linear abhängig.

Jetzt zur Frage: Wie stelle ich aus linear abhängigen Vektoren eine Basis \(B\) des von den 3 Vektoren aufgespannten Unterraums dar?

Danke :)

 

gefragt vor 1 Woche, 3 Tage
g
anonym,
Student, Punkte: 14
 
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2 Antworten
0

Du sortierst nach und nach linear abhängige Vektoren aus, bis nur noch linear unabhängige Vektoren übrig bleiben. Und die bilden dann eine Basis.

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.1K
 

Habe ich schon versucht. Vektor a und b, b und c, c und a sind linear abhängig. Also alle sind voneinander abhängig. Durch das Aussortieren würde doch dann am Ende kein Vektor mehr übrig bleiben?
Oder verstehe ich das falsch.
  -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Nein, Vektor a und Vektor b sind nicht linear abhängig. Sonst wäre ja einer der beiden ein Vielfaches des andern.   -   digamma, verified vor 1 Woche, 3 Tage

Ich glaube du hast da grad nen Denkfehler drinnen, wenn du dir \(a\) und \(b\) mal kurz anschaust, müsste dir schnell auffallen, dass diese wohl kaum voneinander abhängig sein können. (bsp. \(a_2 = 0 \) und \(b_2 \neq 0\))   -   posix, vor 1 Woche, 3 Tage

Ok dann habe ich das falsch verstanden. man schaut sich dann also die Vektoren seperat an und nicht als x*a+y*b=c usw.
Dann könnte die Basis ja aus allen Kombinationen der Vektoren bestehen.
Also entweder B=(a,b) oder B=(b,c) oder B=(a,c) weil so ist ja dann kein vektor voneinander abhängig
Richtig oder liege ich immernoch falsch?
  -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Ich habe das folgendermaßen gemeint: Die Vektoren \(a,b,c\) sind linear abhängig, wenn die Gleichung \( r_1 a + r_2 b + r_3 c = 0 \) eine nicht-triviale Lösung hat. Wenn \(a,b,c\) linear abhängig sind, dann wählt man einen der Vektoren aus, beispielsweise \(c\), und sortiert ihn aus. Dann schaut man sich an, ob die restlichen Vektoren \(a,b\) linear abhängig sind. Sollten die wieder linear abhängig sein, dann sortierst du wieder einen der Vektoren aus. Das Überprüfen der linearen Abhängigkeit und das Aussortieren macht man so lange, bis die restlichen Vektoren irgendwann linear unabhängig sind. Und dann bilden diese linear unabhängigen Vektoren eine Basis des aufgespannten Raums.   -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Ich meine man überprüft die lineare Abhängigkeit der 2 übrig gebliebenen Vektoren nicht durch \(x*a+y*b=0\) sondern durch \(z*a=b \) oder?
Und gibt es dann als ergebnis eine Basis aus 2 Vektoren oder kann es mehrere Basen geben wenn man z.b. a aussortiert statt c ?
  -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Beides ist äquivalent. Eine nicht-triviale Lösung von \(xa+yb=0\) impliziert eine nicht-triviale Lösung von \(za=b\) und umgekehrt (\(z = - \frac{x}{y} \)).
Natürlich gibt es hier mehrere Basen. Die Basis eines Vektorraums ist nie eindeutig bestimmt. Das einzige, das immer eindeutig ist, ist die Anzahl der Basisvektoren.
  -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Vielen Dank, jetzt habe ich es verstanden :)   -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage

Freut mich, wenn ich dir helfen konnte :)   -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage
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Du musst nur zwei Vektoren auswählen, die linear unabhängig sind. Also zum Beispiel die ersten beiden.

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
d
digamma verified
Lehrer/Professor, Punkte: 5.38K
 

Gibt es dann eine eindeutige Basis aus 2 Vektoren oder gibt es mehrere Möglichkteiten?   -   anonym, vor 1 Woche, 3 Tage
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