Supremumsnorm

Aufrufe: 1751     Aktiv: 17.05.2020 um 17:10
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Wie kann man sich die Supremumsnorm über den Raum einer Funktion vorstellen. Z.B. habe man eine stetige Funktion f und der dazugehörige  Raum (C[0,10],||.||inf), wobei ||.||inf die Supremumsnorm sein soll. Ist dann der Raum bestehend aus einem Punkt oder wie soll man sich das vorstellen, denn die Supremsnorm gibt ja an sich nur das Supremum einer Funktion an, dass ja nur eine Zahl sein kann.

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Also zuerst mal besteht der Raum aus Funktionen und nicht nur einem Punkt. Mithilfe einer Norm können wir Abstände und Längen definieren. Im \(\mathbb R^n\) gibt es dafür beispielsweise die \(\Vert \cdot \Vert_2 \)-Norm. Wenn du jetzt in dem Raum \((C[0,10],\Vert\cdot\Vert_\infty)\) beispielsweise den "Abstand" zweier Funktionen \(f,g\) messen möchtest, dann kannst du das machen, indem du die Norm der Differenz betrachtest. Eine Norm erlaubt es einem auch, den Begriff der Konvergenz zu definieren.

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Ok danke. Aber hat dann jeder Funktionswert dieselbe Norm? Ich mein es gibt ja nur einen Wert der der Supremumsnorm zugeordnet werden kann. Oder ist mit supremumsnorm dann der Abstand/die Länge von den Funktionswerten zum Supremum gemeint?   ─   carsten 17.05.2020 um 14:16
Also betrachten wir mal ein Element des Raums. Sei dafür \( f : [0,10] \rightarrow \mathbb R \) mit \(f(x) = e^{x^2} \). Dann gilt \(f \in C[0,10] \) offensichtlich.
Außerdem ist die Sup-Norm von \(f\) dann \(\Vert f \Vert_\infty = \sup\limits_{x\in [0,10]} \vert f(x) \vert = \vert f(10) \vert = f(10) \) offensichtlich, da \(f\) monoton wachsend ist. Also ein Funktionswert hat keine Norm in diesem Sinne, aber eine Funktion schon.   ─   chrispy 17.05.2020 um 14:22
Achsoo, ok alles klar danke.   ─   carsten 17.05.2020 um 17:10

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