(1) stell die gleichung um zu L(xy) - L(y) = L(x), dann stellst du beim aussschreiben von L(xy) - L(y) fest, dass die integralgrenzen x und xy sind - ab da hilft dir substitution

(2) überleg dir, dass es schon reich die behauptung für alle natürlichen zahlen q zu beweisen (bei deiner aufgabenstellung hätte natürlich L(x^q) stehen sollen) - um das für alle natürlichen zahlen zu zeigen, brauchst du (1), damit gehts ganz schnell

(3) für stetig brauchst du den hauptsatz der integral rechnung, für das mit ln kannst du dir ja überlegen, dass die forderung äquivalent ist zu L(exp(x)) = a*x für irgendein a.
wegen (2) weißt du ja aber schon dass L(exp(x)) = x für alle rationalen zahlen x : für die reellen zahlen brauchst du dann die stetigkeit