Was meinst du mit "mit der Steigung +1" ?

Solltest du das Integral der Funktion f(x)=x^3 + 1 im Intervall [1;3] meinen, musst du folgendermaßen vorgehen: Die Funktion hat sich im Vergleich zu vorher insofern verändert, als eine Verschiebung des Graphen von f um +1 in y-Richtung stattgefunden hat. Deshalb verändert sich auch die Stammfunktion ("Aufleitung") -> F(x) = ¼ x^4 + x. Um diesen Schritt nachzuvollziehen, kannst du F(x) einmal ableiten (du wirst merken, dass du f(x) erhältst). 

Nun setzt du einfach die Intervallgrenzen in die Stammfunktion F ein. Du rechnest wie immer die "obere Grenze" (hier 3) minus die "untere Grenze" (hier 1), sodass du das Integral im Intervall [1;3] erhältst.