Gibt es eine offene Menge die kompakt ist?

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Angenommen wir befinden uns in irgendeinem metrischen Raum. Kann es eine offene Menge geben, die kompakt ist? Oder ist das prinzipiell gar nicht möglich? Ich vermute, dass das nicht geht, weil jede kompakte Menge abgeschlossen ist, allerdings gilt ja nur im euklidischen Raum, dass auch jede abgeschlossene und beschränkte Menge wieder kompakt ist. Dementsprechend darf ich i.A. nicht den Umkehrschluss folgern. Aber ich wüsste sonst nicht, wie ich das begründen soll. Oder gibts da doch eine offene Menge, die kompakt ist?

 

gefragt vor 1 Woche
c
 
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2 Antworten
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du denkst bestimmt viel zu kompliziert, probier es mal mit der leeren menge :)

geantwortet vor 1 Woche
a
aufjedebewertungeinschnaps
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1

Nehmen wir die Menge \( X = \{0,1\} \) mit der diskreten Metrik

\( d(x,y) = \begin{cases} 1 & x \neq y \\ 0 & x=y \end{cases} \)

Dann wird \((X,d)\) zu einem metrischen Raum mit den offenen Mengen \( \emptyset,\{0\},\{1\}\) und \(X \).

Wie man sieht, ist in diesem Raum sogar jede offene Menge kompakt.

geantwortet vor 1 Woche
g
anonym
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