Abgeschlossene Menge mit kompakten Rand auch kompakt?

Aufrufe: 51     Aktiv: vor 2 Wochen, 4 Tage

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Und weil's so viel Spaß gemacht hat, hab ich direkt noch ne Frage :) kann ich daraus schließen, dass eine Menge die abgeschlossen ist und einen kompakten Rand hat, selbst auch kompakt sein muss? 

 

gefragt vor 2 Wochen, 4 Tage
c
 
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1 Antwort
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Wir betrachten den metrischen Raum \( ( \mathbb{R}, \vert \cdot \vert ) \).

Das Intervall \( [0, \infty) \) ist eine abgeschlossene Menge und der Rand \( \{0\} \) ist kompakt. Aber \([0,\infty) \) ist nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( [0, \infty) \subset \cup_{n=0}^{\infty} B_{\frac{2}{3}}(n) \) hat keine endliche Teilüberdeckung (schon nach Entfernen einer einzigen Menge, wäre es keine Überdeckung mehr).

geantwortet vor 2 Wochen, 4 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Okay kann ich nachvollziehen aber nur eine kleine Verständnisfrage noch: woher hast du die Überdeckung mit B_(2/3) her?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 2 Wochen, 4 Tage

Ich habe eine Überdeckung genommen, der man sofort ansieht, dass sie keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wenn man ein \( B_{\frac{2}{3}}(k) \) herausnimmt, dann sieht man sofort, dass die anderen Mengen, das \(k\) nicht enthalten können.
Man hätte aber auch eine andere Überdeckung nehmen können. Jede Überdeckung mit beschränkten Mengen würde hier funktionieren.
  -   anonym, vor 2 Wochen, 4 Tage

Ah alles klar. Danke   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 2 Wochen, 4 Tage
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