Abgeschlossene Menge mit kompakten Rand auch kompakt?

Aufrufe: 786     Aktiv: 18.05.2020 um 22:39
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Und weil's so viel Spaß gemacht hat, hab ich direkt noch ne Frage :) kann ich daraus schließen, dass eine Menge die abgeschlossen ist und einen kompakten Rand hat, selbst auch kompakt sein muss? 

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Student, Punkte: 86

 
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Wir betrachten den metrischen Raum \( ( \mathbb{R}, \vert \cdot \vert ) \).

Das Intervall \( [0, \infty) \) ist eine abgeschlossene Menge und der Rand \( \{0\} \) ist kompakt. Aber \([0,\infty) \) ist nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( [0, \infty) \subset \cup_{n=0}^{\infty} B_{\frac{2}{3}}(n) \) hat keine endliche Teilüberdeckung (schon nach Entfernen einer einzigen Menge, wäre es keine Überdeckung mehr).

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Student, Punkte: 7.02K

 
Okay kann ich nachvollziehen aber nur eine kleine Verständnisfrage noch: woher hast du die Überdeckung mit B_(2/3) her?   ─   karamellkatze 18.05.2020 um 22:01
Ich habe eine Überdeckung genommen, der man sofort ansieht, dass sie keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wenn man ein \( B_{\frac{2}{3}}(k) \) herausnimmt, dann sieht man sofort, dass die anderen Mengen, das \(k\) nicht enthalten können.
Man hätte aber auch eine andere Überdeckung nehmen können. Jede Überdeckung mit beschränkten Mengen würde hier funktionieren.   ─   42 18.05.2020 um 22:19
Ah alles klar. Danke   ─   karamellkatze 18.05.2020 um 22:39

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