Ist der Rand einer beschränkten Menge immer kompakt?

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Joa im Titel steht eig auch schon die ganze Frage 😅 ist der Rand einer beschränkten Menge immer kompakt?

Ach und noch was anderes, ist die Menge der isolierten Punkte einer beschränkten Menge immer kompakt?

 

gefragt vor 2 Wochen, 3 Tage
c
 
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1 Antwort
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Der Rand einer beschränkten Menge ist nicht immer kompakt. Genauso wie die Menge der isolierten Punkte nicht immer kompakt ist.

Wir betrachten dazu den normierten Raum \( (\mathbb{R},\vert \cdot \vert) \).

Wir betrachten die von \((0,1)\) induzierte Teilraumtopologie. Die Menge \( \mathbb{Q} \cap (0,1) \) ist beschränkt mit Rand \( (0,1) \). Der Rand ist jedoch nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( (0,1) \subset \cup_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+2},1-\frac{1}{n+2}) \) besitzt keine endliche Teilüberdeckung (denn eine endliche Vereinigung \( \cup_{j=1}^{k} (\frac{1}{n_j+2},1-\frac{1}{n_j+2}) = (\frac{1}{n_k+2},1-\frac{1}{n_k+2} ) \) enthält beispielsweise \( \frac{1}{n_k+3} \in (0,1) \) nicht).

Die Menge \( \{ \frac{1}{m} \vert m \in \mathbb{N} \} \) ist beschränkt und gleichzeitig auch die Menge der isolierten Punkte. Die Menge ist jedoch nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( \{ \frac{1}{m} \vert m \in \mathbb{N} \} \subset \cup_{n=1}^{\infty} B_{ \frac{1}{n(n+1)} } ( \frac{1}{n}) \) besitzt keine endliche Teilüberdeckung (schon nach Entfernen einer einzigen Menge, wäre es keine Überdeckung mehr).

geantwortet vor 2 Wochen, 3 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Ich hab jetzt schon das ein oder andere Beispiel gesehen bei dem die Überdeckung jeweils nicht endlich war. Wie würde denn eine endliche Überdeckung überhaupt aussehen?
Und zu der Aufgabe speziell, woher hast du die Überdeckung? Bzw wie finde ich denn selbst solch eine? Für mich ist das nämlich so eine Art “Kaninchen aus dem Zauberhut“ gezogen und alles noch sehr mystisch, wo die her kommt.
  -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 2 Wochen, 3 Tage

Der Rand müsste \( [0,1] \) sein und nicht \( (0,1)\).   -   chrispy, vor 2 Wochen, 3 Tage

Wenn du eine Überdeckung \( \cup_{n=1}^{\infty} A_n \) hast, dann hätte eine endliche Teilüberdeckung die Form \( \cup_{j=1}^k A_{n_k} \). Du suchst dir also endlich viele Mengen \( A_{n_1}, \dots A_{n_k} \) aus der unendlichen Überdeckung raus, um dir damit eine endliche Überdeckung zu bauen.
Wie man geeignete Überdeckungen für Gegenbeispiele findet, kann man nicht so pauschal sagen. Die Mathematik ist ja oft auch ein kreativer Prozess. Man muss sich halt immer fragen: Wie könnte ich die Menge mit offenen Mengen überdecken, sodass ich fast alle dieser offenen Mengen wirklich brauche? Ein guter Ansatz ist immer, sich offene Mengen zu suchen, die von unten gegen die Menge konvergieren. Ein anderer Ansatz wäre, offene Bälle über die Menge zu verteilen, sodass der Mittelpunkt eines Balles in keinem der anderen Bälle enthalten ist. Beide Ansätze habe ich in meinen obigen Gegenbeispielen dargestellt. Generell lässt sich zu Gegenbeispielen sagen, dass sowas sehr viel Rumprobieren erfordert. Es ist ein (möglicherweise) langer Prozess, bis man schließlich auf eine Lösung kommt, die funktioniert.
  -   anonym, vor 2 Wochen, 3 Tage

Der Kommentar zum Rand war natürlich vollkommen richtig. Ich hatte hier vergessen, die entsprechende Topologie hinzuschreiben. Das habe ich jetzt korrigiert. Vielen Dank für den Hinweis.   -   anonym, vor 2 Wochen, 3 Tage
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