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Der Rand einer beschränkten Menge ist nicht immer kompakt. Genauso wie die Menge der isolierten Punkte nicht immer kompakt ist.
Wir betrachten dazu den normierten Raum \( (\mathbb{R},\vert \cdot \vert) \).
Wir betrachten die von \((0,1)\) induzierte Teilraumtopologie. Die Menge \( \mathbb{Q} \cap (0,1) \) ist beschränkt mit Rand \( (0,1) \). Der Rand ist jedoch nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( (0,1) \subset \cup_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n+2},1-\frac{1}{n+2}) \) besitzt keine endliche Teilüberdeckung (denn eine endliche Vereinigung \( \cup_{j=1}^{k} (\frac{1}{n_j+2},1-\frac{1}{n_j+2}) = (\frac{1}{n_k+2},1-\frac{1}{n_k+2} ) \) enthält beispielsweise \( \frac{1}{n_k+3} \in (0,1) \) nicht).
Die Menge \( \{ \frac{1}{m} \vert m \in \mathbb{N} \} \) ist beschränkt und gleichzeitig auch die Menge der isolierten Punkte. Die Menge ist jedoch nicht kompakt, denn die offene Überdeckung \( \{ \frac{1}{m} \vert m \in \mathbb{N} \} \subset \cup_{n=1}^{\infty} B_{ \frac{1}{n(n+1)} } ( \frac{1}{n}) \) besitzt keine endliche Teilüberdeckung (schon nach Entfernen einer einzigen Menge, wäre es keine Überdeckung mehr).
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Wie man geeignete Überdeckungen für Gegenbeispiele findet, kann man nicht so pauschal sagen. Die Mathematik ist ja oft auch ein kreativer Prozess. Man muss sich halt immer fragen: Wie könnte ich die Menge mit offenen Mengen überdecken, sodass ich fast alle dieser offenen Mengen wirklich brauche? Ein guter Ansatz ist immer, sich offene Mengen zu suchen, die von unten gegen die Menge konvergieren. Ein anderer Ansatz wäre, offene Bälle über die Menge zu verteilen, sodass der Mittelpunkt eines Balles in keinem der anderen Bälle enthalten ist. Beide Ansätze habe ich in meinen obigen Gegenbeispielen dargestellt. Generell lässt sich zu Gegenbeispielen sagen, dass sowas sehr viel Rumprobieren erfordert. Es ist ein (möglicherweise) langer Prozess, bis man schließlich auf eine Lösung kommt, die funktioniert. ─ 42 19.05.2020 um 16:11
Und zu der Aufgabe speziell, woher hast du die Überdeckung? Bzw wie finde ich denn selbst solch eine? Für mich ist das nämlich so eine Art “Kaninchen aus dem Zauberhut“ gezogen und alles noch sehr mystisch, wo die her kommt. ─ karamellkatze 19.05.2020 um 15:45