Wie beweist man, dass Phi Element von dem Dualraum ist?

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Eine Frage zu Linearer Algebra. Und zwar haben wir einen Raum V gegeben und eine Abbildung Phi und sollen nun überprüfen, ob Phi auch zum Dualraum gehört. Wir hatten da zwar schon einige Aufgaben gemacht aber ich hab nicht durchblickt, was genau ich bei dieser Art von Aufgabe immer zeigen soll (also bspw Linearität oder so). Ich weiß nicht ob ich da meine akutelle Aufgabe mal sagen soll damit das ganze etwas klarer wird aber grundsätzlich will ich ja das Prinzip dahinter vetstehen und nicht noch eine Lösung bekommen mit der ich nichts anfangen kann...help

 

gefragt vor 1 Woche, 2 Tage
c
 
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1 Antwort
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ja genau das was du sagst. der dualraum besteht ja aus allen linearen abbildungen von V nach K.
damit phi also teil vom dualraum ist, muss phi linear sein (und natürlich die richtige domain bzw codomain haben).

um ein explizites phi besser bzw genau zu verstehen, schaut man sicher immer die bilder einer basis von V an.
wegen linearität ist phi durch diese bilder nämlich eindeutig definiert.

alles weitere könnte ich aber glaube ich erst an einem expliziten beispiel erklären, hoffe das hilft dir schon mal :)

geantwortet vor 1 Woche, 2 Tage
a
aufjedebewertungeinschnaps
Student, Punkte: 1.07K
 

Ah ja...okay und was genau bedeutet die richtige domain oder codomain zu haben?
Dann muss ich mir also immer erst einmal die Basen von V zur Hand mehmen und dann schauen wohin die Abbildung abbildet?
  -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

nene normal ist das mit domain und codomain total offensichtlich. dafür musst du ja nur schauen, dass phi immer in den körper abbildet, und dass es elemente aus dem vektorraum nimmt. das ist eigentlich nie die aufgabe, das zu überprüfen, deswegen in klammern. habs nur geschrieben, damit nichts missverstanden wird   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

wenn du willst, schick einfach deinen ansatz zur aufgabe. ich muss ja nicht zwangsläufig eine lösung vorsagen, sondern kann ja auch nur tipps geben   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Und für Linearität muss ich Additivität und Homogenität beweisen richtig?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

ja genau, jetzt bei der aufgabe a) hättest du dann ja für additivität eine summe von zwei reihen bzw für homogenität faktor mal reihe.
dabei musst du jetzt natürlich schauen, inwiefern du die zusammenrechnen kannst bzw den faktor in die summe ziehen kannst, und vorallem welche voraussetzungen dafür nötig sind ob diese voraussetzungen gegeben sind
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Ich habs jz mal versucht und das Bild dazu hochgeladen.   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

ja ist richtig. aber denk dran, dass das mit dem auseinanderziehen der summen und das mit dem vorfaktor nur funktioniert, weil die reihen konvergent sind   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Warum würde das nicht funktionieren wenn die Reihen nicht konvergent wären?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

als beispiel: sei a_n = (-1)^n , dann ist ja die summe über alle a_n's nicht konvergent. also auch nicht die über -a_n's
aber summe über (a_n + (-a_n)) ist ja 0 aber das ist nicht das gleiche wie (summe über a_n's) + (summe über (-a_n's)), denn der ausdruck existiert ja gar nicht.
ihr habt ganz bestimmt auch einen satz dazu in der vorlesung, dass das mit dem vorfaktor und der summe nur bei konvergenten reihen funktioniert. schau mal nach
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Ah ja tatsächlich habs gefunden 😅
Vielleicht kannst du mir noch verraten, wozu ich bei Aufgabe b) eine Basis gegeben habe und warum die fixiert ist. Ich wäre ja jz ähnlich wie bei a rangegangen aber ich blick nicht ganz durch, was die c's sind und wieso ein phi(x) gegeben ist?
  -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

das ist genau das, was ich vorhin meinte:
"um ein explizites phi besser bzw genau zu verstehen, schaut man sicher immer die bilder einer basis von V an.
wegen linearität ist phi durch diese bilder nämlich eindeutig definiert."

das ist quasi der kern von dem thema - linearformen sind durch die bilder von einer basis von V eindeutig bestimmt, so wie hier.
oft will man eine spezielle eigenschaft einer linearform nachweisen oder untersuchen. dafür muss man sich dann aber nur anschauen, wo die basis von V hin abgebildet wird und schon weiß man alles über die linearform.

hier ist eine linearform genau auf diese weise angegeben, jetzt musst du also noch zeigen dass es wirklich eine ist.
dafür kann es sehr nützlich sein zu wissen, dass für eine gegebene basis (die du ja hast) jeder vektor aus V auf eindeutige art und weise als linearkombination von den basisvektoren geschrieben werden kann. was phi dann mit einer solchen linearkombination macht, steht da ja geschrieben
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Sorry aber so ganz steig ich da immer noch nicht durch. Ich nehm mir einen Vektor x aus V und die Abb. Phi bildet den dann auf c_1 ab. Soll ich mir dann, um Additivität zu zeigen, einen Vektor y aus V nehmen und den als phi(y):=c_2 definieren?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

ne nich ganz.
in der aufgabenstellung ist phi ja so definiert, dass x auf sein c_1 geschickt wird.
um additivität zu zeigen hast du nun x,y gegeben. die haben beide wie gesagt eine eindeutige darstellung mithilfe der basis, seien die vorfaktoren der basisvektoren gegeben durch c_i bzw d_i
dann gilt also phi(x)=c_1 und phi(y)=d_1
für x+y gibt es ja auch eine eindeutige darstellung mithilfe der basisvektoren. die darstellung mithilfe der koeffizienten c_i + d_i liefert ja aber schon eine solche darstellung.
dadurch weißt du schon wie phi(x+y) aussieht. wie nämlich?

(kann natürlich sein dass du das richtige gemeint hast, aber der name c_2 wirkt so als wäre es der koeffizient vom zweiten basisvektor von x. dabei brauchst du eigentlich den koeffizienten vom ersten basisvektor von y)
  -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Stiiimmt macht ja auch gar keinen Sinn c_2 zu nehmen wenn der ein Koeffizient von der LK von x ist und ich einen neuen Koeffizienten für y brauche. Ist dann x+y eindeutig dargestellt durch \sum_{i=0}^n (c_i + d_i)a_i und phi(x+y)=c_1 + d_1 ...?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

ja genau :)   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 2 Tage

Ich glaub ich hab's jetzt verstanden!!! 🙈🤓 Danke Danke Danke dass du dir Zeit genommen hast, mit mir alles durchzugehen und mir alles bis auf's kleinste Detail erklärt hast 😊 das hat mir unglaublich doll weiter geholfen. Ein riesiges Dankeschön nochmal 🙈   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche, 2 Tage

kein thema du, dafür hab ich mich bei dem laden hier ja registriert :D   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche, 1 Tag
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