Basis aus V mit einer zugehörigen Kobasis ermitteln

Aufrufe: 674     Aktiv: 20.05.2020 um 12:14
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Guten Morgen 😊 

Ich hab da noch eine Frage zu Linearer Algebra. Ich hab einen Vektorraum von lR nach lR mit der Gestalt f(x) = ax+b (a,b aus lR) und in seinem Dualraum V* sind die Kovektoren mit f_1*, f_2* mit f_1*(f)=f(0) und f_2*(f)=f(1) für alle f aus V definiert und ich soll nun die Basis von V ermitteln zu der B*={f_1*, f_2*} die dazugehörige Kobasis ist. 

Also so ganz allgemein weiß ich erstmal nicht, was ich dazu überhaupt machen soll. Ich könnt mir nur denken, dass für f_1*(f)=b und für f_2*=a+b gilt. Aber ob das richtig ist und was ich damit machen soll, weiß ich noch nicht....pls help me

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Student, Punkte: 86

 
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Für eine Basis B={f_1,f_2} von ist eine Basis B*={f*_1,f*_2} von V* genau dann eine Cobasis, wenn f*_i(f_j)=0, falls i=/=j und f*_i(f_j)=1, falls i=j.
Wie du schon richtig bemerkt hast, ist für f(x)=ax+b dann f*_1(f)=b und f*_2=a+b, hilft dir das weiter?

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Student, Punkte: 75

 
Jein. Also es erklärt zumindest woher in meinem Beispiel aus der Übung in dem Gleichungssystem die 1 bzw die 0 herkommt, aber ich versteh trotzdem nicht, was ich damit bei diesem Bsp jetzt machen soll.   ─   karamellkatze 20.05.2020 um 11:49
Damit f_1=a_1*x+b_1 in der Cobasis ist, muss wegen der Definition f*_1(f_1)=b_1=1 gelten und f*_2(f_1)=a_1+b_1=a_1+1=0, also a_1=-1. Also haben wir f_1=-x+1. Kannst du das Gleiche für f_2 machen?   ─   maxhun 20.05.2020 um 11:56
Kurze Zwischenfrage: bei f*_1(f_1) sind die Indizes doch gleich. Warum ist das dann 1? Ich dachte dann muss es 0 sein.
Und wenn ich das dann für f_2 auch so mache, dann ist f_2=a_2*x+b_2 und es ergibt sich f*_1(f_2)=b_2=0 und für f*_2(f_2)=a_2+b_2=1 und a_2= 1
Dann ist f_2=x. Heißt das, meine Basis B lautet {-x+1;x}?   ─   karamellkatze 20.05.2020 um 12:06
Gut aufgepasst, da hatte ich mich in der ursprünglichen Antwort verschrieben, habe es jetzt verbessert. Ja, auf diese Lösung komme ich auch.   ─   maxhun 20.05.2020 um 12:10
Ah alles klar. Vielen vielen Dank! Jetzt hab ich's verstanden :)   ─   karamellkatze 20.05.2020 um 12:14

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