Wie rechne ich das aus? Wirtschaftsmathematik, Gewinn, Erlös und Kostenfunktion

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Hallo,

ich hatte die Aufgaben in der Klausur und wusste gar nicht, was zu tun ist. Kann mir das einer erklären?

 

Gegeben war folgendes:

K(x)= x(hoch3) - 3x(hoch2) + 4x + 80 ; Erlösfunktion läuft linear, Verkaufspreis bei 82 GE/ME

 

1.1) Zeigen Sie, dass die Gewinnfunktion G(x)= -x(hoch3) + 3x(hoch2) +78x -80 lautet.

 

Dort habe ich dann beide mit x=0 berechnet, dann kam ein Verlust von -80 raus und Kosten von 80, aber das wurde mir als falsch angestrichen?

 

1.2) Berechnen Sie die Menge, bei der der Kostenanstieg am gerinsten ist.

 

Dort habe ich dann von K(x) drei Ableitungen gemacht, dort kam K(3. Ableitung)(x)= 6 raus, aber das ist wohl falsch?

 

1.3) Berechnen Sie die Gewinnzone.

 

Dort habe ich dann von G(X) die Nullstellen mit meinem Taschenrechner ausgrechnet, allerdings schrieb meine Lehrerin darunter ''Berechnung fehlt'', aber in der alten Schule (habe gewechselt) wurde mir das ohne Rechnung beigebracht. Meine Nullstellen waren dann 1 und 10 und richtig, aber nur 1/7 Punkten bekommen.

 

Ich danke jedem im Voraus, der sich meiner Probleme annimmt und mir helfen möchte! 

Es wäre auch okay, wenn man nur eine Aufgabe erklärt, vielleicht findet sich dann ein anderer für die anderen Aufgaben.

 

Vielen Dank!

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
j
 
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2 Antworten
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Zu 1.1) Die Erlösfunktion ist linear mit Verkaufspreis 82 GE/ME, sie lautet also \( E(x) = 82x \). Nun ist Gewinn = Erlös - Kosten, also gilt \( G(x) = E(x) - K(x) = 82x - (x^3 - 3x^2 + 4x +80) = 82x - x^3 + 3x^2 - 4x - 80 = -x^3 + 3x^2 + 78x - 80 \).

Zu 1.2) Der Kostenanstieg wird durch die Ableitung \( K^{\prime}(x)=3x^2-6x+4\) ausgedrückt. Wir suchen den geringsten Anstieg, also ein Minimum der Funktion \( K^{\prime} \). Dazu setzen wir die erste Ableitung von \(K^{\prime}\) gleich Null, also \( K^{\prime \prime}(x)=6x-6 = 0 \) und erhalten \(x=1\) als kritische Stelle für ein Extremum. Nun betrachten wir die zweite Ableitung von \(K^{\prime}\). Es gilt \(K^{\prime \prime \prime}(x)=6 \) und somit \(K^{\prime \prime \prime}(1)=6 > 0 \), also liegt an der Stelle \(x=1\) tatsächlich ein Minimum von \(K^{\prime}\) vor. Der Kostenanstieg ist somit bei 1 ME am geringsten.

Zu 1.3) Hier müssen wir zunächst die Nullstellen von \(G\) bestimmen. Da es sich hier um ein Polynom 3. Grades handelt, ist die Berechnung per Hand etwas umständlich. Man kann zunächst (mehr oder weniger) leicht sehen, dass bei \(x=1\) eine Nullstelle vorliegt, denn \(G(1) = -1^3+3 \cdot 1^2 + 78 \cdot 1 - 80 = 0 \). Nun kann man beispielsweise eine Polynomdivision durchführen und erhält \(G(x)=(x-1)(-x^2+2x+80)\). Die weiteren Nullstellen sind dann genau die Nullstellen von \( -x^2+2x+80 \). Hier erhält man beispielsweise mit der abc-Formel die Nullstellen \( x = -8 \) und \( x = 10 \). Im Sachzusammenhang (\(x \ge 0\)) kommen somit (wegen der Stetigkeit von \(G\)) die Intervalle \( [0,1]\), \([1,10]\) und \([10, \infty)\) als Gewinnzone infrage. Wir prüfen nun, in welchen Intervallen tatsächlich Gewinne erwirtschaftet werden (also wo \(G\) nicht-negative Werte annimmt). Wegen \(G(0,5) = -40,375 < 0 \) und \(G(11)=-190<0\) scheiden die Intervalle \([0,1]\) und \([10, \infty)\) als Gewinnzone aus und wegen \(G(2) = 80 > 0 \) liegt die Gewinnzone somit bei \([1,10]\).

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Vielen Dank! Ich habe 1.1 und 1.2 dank Ihrer Erklärung direkt verstanden. Allerdings verstehe ich nicht ganz, wie man die Polynomdivision durchführt und kann man statt der abc-Formel auch die pq-Formel benutzen? Ich denke, dass meine Mathe Lehrerin eher eine pq-Formel bewerten würde.   -   jasmine.livehotel, vor 2 Wochen, 1 Tag
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Ja, du kannst p-q-formel immer statt abc-Formel und andersrum benutzen!

was verstehst du sonst noch was nicht? Gerne melden

geantwortet vor 2 Wochen, 1 Tag
d
derpi-te verified
Schüler, Punkte: 1.01K
 

Ich hatte jetzt versucht, die Formel -x(hoch2) + 2x + 80 in die pq-formel ein zu setztem, allerdings ist dort was falsch, da mein Bruch nicht auf geht. Folgendes: p=2 ; q= 80, eingesetzt: -(2/80) +- (In Wurzel)((2/2)(hoch2)-80). Dort bekomme ich dann einen mathematischen Fehler, wenn ich die Wurzel lösen möchte.   -   jasmine.livehotel, vor 2 Wochen, 1 Tag

Die pq-Formel kannst du erst anwenden, wenn vor dem x^2 eine 1 steht In deinem Fall steht da eine -1, die du zuerst einmal aus des Summe ausklammern musst., indem du alle anderen Zahlen durch -1 dividierst. Macht dann das:
x^+2 -2x -80
Darauf kannst du jetzt die pq-formel anwenden...

Verstehst du was ich meine?
  -   derpi-te, verified vor 2 Wochen, 1 Tag

Ja danke! Hab ich verstanden, also wenn da z.B. -4x^2 steht, würde alles /-4 berechnet werden?   -   jasmine.livehotel, vor 2 Wochen, 1 Tag

Ganz genau
  -   derpi-te, verified vor 2 Wochen, 1 Tag
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