Algebra - Verallgemeinerung

Aufrufe: 443     Aktiv: 20.05.2020 um 14:32
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Hallo ihr lieben, 

wir haben folgende Aufgabe bereits berechnet : Jemand kauft 12 Stück Tuch für 140 Thalern, davon sind zwei Stück weiß, drei sind schwarz und der Rest ist blau. Nun kostet ein Stück schwarzes Tuch 2 Thalern mehr als ein weißes und ein Stück blaues Tuch kostet 3 Thalern mehr als ein schwarzes. Die Frage ist, wie viel jedes kostet. 
- das war kein Problem.

Nun sollen wir in der nächsten Aufgabe folgendes machen: ersetzen Sie 140 Thalern durch p Thalern (p Element  N). 
beweisen oder widerlegen sie: In Abhängigkeit von p gibt es genau eine Lösung der Aufgabe, wenn beliebige natürliche Zahlen als Maßzahlen der Preise für die Tücher zugelassen werden. 

Ich hab leider überhaupt keinen Ansatz dafür. Könnt ihr mir helfen?

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Sei \(w, s, b\in\mathbb{R}^+\) der Preis für ein weißes, schwarzes und blaues Tuch. Dann ist gegeben:

\(2w+3s+7b=p\)
\(s=w+2\)
\(b=s+3\)

Nun sortieren wir dieses LGS:

\(2w+3s+7b=p\)
\(-w+s\quad\quad\ =2\)
\(\quad\quad-s+b\ \ =3\)

und erhalten die Lösung:

\(w=\frac{p-41}{12}\)
\(s=\frac{p-17}{12}\)
\(b=\frac{p+19}{12}\)

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