a) Für Rechtskrümmung gilt f''(x) < 0, für die Linkskrümmung gilt f''(x) > 0

f''(x) = -3

Für alle x-Werte liegt also Rechtskrümmung vor.

b) Monoton steigend für f'(x) >= 0.

Also: f'(x) = -3x+2 = 0

3x = 2

x = 2/3

Für x >= 2/3 ist es also monoton steigend.

Hey Schaima,

fangen wir damit an, dass wir uns mal überlegen, was die Ableitung überhaupt aussagt, dann kommt man vielleicht auch zum Verständnis, wie die Ableitung mit der Monotonie der Funktion zusammenhängt.

Wie du ja sicher weißt, gibt die Ableitung an einer bestimmten Stelle \( x \) den Anstieg an dieser Stelle an. Wenn du dir nun überlegst, was es heißt, dass eine Funktion monoton wächst und was es heißt eine monoton fallende Funktion zu haben, dann kannst du dir daran überlegen, dass eine Funktion genau dann monton wachsend ist, wenn sie eine positive Ableitung hat, also \( f'(x) > 0 \). Andersherum gilt, dass die Funktion für alle x monoton fallend ist, genau dann wenn die Ableitung für diese x-Werte negativ ist, also \( f'(x) < 0 \).

[Einschub:] Hat nichts direkt mit der Aufgabe zu tun, aber wenn du dir mal eine Funktion skizzierst, dann wirst du sehen, dass sich das Monotonieverhalten in den Extrema (die ja die Nullstellen der 1. Ableitung sind) ändert.

Um zu schauen, für welche x-Werte deine Funktion monoton wachsend ist, musst du also schauen, für welche x-Werte deine gegebene Ableitung größer als 0 ist.

Das Krümmungsverhalten ist von den Überlegungen her ähnlich zur Monotonie, nur dass alle Betrachtungen an der 2. Ableitung durchgeführt werden. Ist eine Funktion rechtsgekrümmt, dann ist die 2. Ableitung kleiner als 0, ist die Funktion linksgekrümmt, dann ist die 2. Ableitung größer als 0.

Auch hier wieder die Anmerkung, dass sich das Krümmungsverhalten in der Nullstelle ändert, also entweder im Wendepunkt oder im Sattelpunkt.