Beweisschwierigkeiten: Assoziativgesetz und Distributivgesetz für Matrizen

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Soviel zu Aufgabenstellung. Ich fange mal mit dem an was ich herausgefunden haeb beovr wir zu meiner Frage kommen (ansonsten einfach auf die Frage direkt schauen):

a) Ich definiere hierbei F:= A+B.
Sowohl A als auch B sind mxn MAtrizen und verfügen daher beide über die gleiche Zeilen und Spaltenzahl (lassen sich also problemlos addieren). Die hierdurch entsetehende Matrix F ist daher auch eine mxn Matrix. 
Nun multiplizieren wir F mit C. Da die Spaltenanzahl von F mit der Zeilenanzahl von C übereinstimmt dürfen wir multiplizieren. WICHTIG: Die Reihenfolge ist entscheidend. Denn F * C ist nicht gleich C * F (in diesem Fall kann man nicht multiplizieren). Auf diese Weise können wir auch den zweiten Teil von a als richtig betrachten. Erstmal nur soweit.

b) Wir beginnen mit A(BC). Wir können B mit C multiplizieren, denn auch hier ist die Splatenzahl von B die gleuche wie die Zeilenzahl von C. Die hierraus entstehende Matrix (nennen wir sie mal G) ist eine nxq matrix (weil... ist so. Könnt gerne ausprobieren ^^). Auch hier können wir A mit G multiplizieren, denn A als  mxn lässt sich mit G nxq multiplizieren. (Denn spalte von A gleich Zeile von G etc).
Bei (AB)C ist es nun genauso: mxn * nxp lässt sich multiplizieren weil blabla, hab ich schon erklärt. Aus A*B wird nun eine mxp matrix. Mit C als pxq lässt sich multiplizieren denn: m x p * p x q geht (wie bereits erwähnt)

 

FRAGE: So nun haben wir schon mal für mich geklärt warum das geht. Allerdings habe ich hierbei eigentlich nur gezeigt, dass es funktioniert.... ist halt so. Und dieses "ist halt so" stört mich natürlich gewaltig. Ich tue mich immer noch schwer mit beweisen und hierbei ist es ja wichtig einen allgemeinen Beweis herzustellen (also kann ich nicht einfach irgendetwas einsetzten. Damit würde iches ja nur fpr einen Fall beweisen, nicht für alle). Wie also lässt sich mein Gedankengang mathematisch korrekt ausdrücken? Was sollte ich am besten tun zum Beweis? Einfach Variablen einsetzten und so rumrechen und hoffen das auf beiden seiten das gleuche rauskommt? (Was ich schon probiert habe, aber es kommen nur kilometerlange Formeln raus ^^') ODer gibt es einen einfacheren Weg den ich gerade übersehe? 

LG

 

gefragt vor 1 Woche, 1 Tag
q
anonym,
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1 Antwort
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leider gibts für die beiden beweise keine andere möglichkeit als eine indexschlacht.. wenn du also kilometer lange formeln hast, ist das schon mal ein richtiger ansatz.

eventuell lässt sich das natürlich etwas verkürzen indem man sagt, man rechnet nur einen einzigen eintrag der jeweils entstehenden matrizen aus, zeigt dann gleichheit von denen und sagt, dass das für alle anderen einträge analog funktioniert. bspw könnte man den eintrag ganz oben links (also mit index 1,1) ausrechnen und dann sagen, dass das reicht

geantwortet vor 1 Woche, 1 Tag
a
aufjedebewertungeinschnaps
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