Hallo, ein Span musst du dir so vorstellen: Ein Vektor spannt eine Gerade auf, zwei Vektoren die in unterschiedliche Richtungen zeigen (linear unabhängig) spannen eine Ebene auf und drei lienar unabhängige Vektoren spannen einen ganzen Raum auf.

Die Basis eines Erzeugendensystems sind nun linear unabhängige Vektoren, die den Raum/Ebene/Gerade aufspannen.

Nun bestimmen wir:

\(\rm{Span}(p,q,r)=\rm{Span}\left(\begin{pmatrix}-6\\-2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}\right)\)

solange die drei Polynome linear unabhängig sind, spannen sie den ganzen \(\mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c|a,b,c\in\mathbb{R}\}\) auf.

Wenn sie zwei Polynome linear abhängig wären, würden nur die Linearkombinationen der linear unabhängigen Polynome aufgespannt werden.

Falls \(\mathcal{P}_2\) aufgespannt wird kannst du einfach die Standardbasis verwenden: \(\{e_1,e_2,e_3\}=\{x^2,x,1\}\).

Die Dimension gibt einfach die Anzahl der Elemente in einer Basis an.

Zunächst klären wir mal die Begrifflichkeiten. Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum.

Eine Familie \( (v_i)_{i \in I} \) von Vektoren aus \(V\) ist eine Folge von Vektoren \(v_i \in V\) mit beliebiger Indexmenge \(I\).

Der Span (oder auch lineare Hülle genannt) von einer endlichen Familie \( (v_1, \dots, v_n) \) von Vektoren aus \(V\) ist definiert als \( Span( v_1, \dots, v_n ) = \{ \lambda_1v_1 + \dots + \lambda_nv_n \vert \lambda_1, \dots, \lambda_n \in K \} \), besteht also genau aus den Vektoren von \(V\), die sich als Linearkombination der Vektoren \( (v_1, \dots, v_n) \) schreiben lassen.

Eine Basis von \(V\) ist eine Familie von Vektoren aus \(V\), die linear unabhängig und deren Span gleich \(V\) ist.

Die Dimension eines Vektorraums ist die Länge einer Basis (Ein Vektorraum hat in der Regel mehrere Basen, aber die Länge der Basen ist dabei immer gleich).

Nun zur Aufgabe: Gesucht ist eine Basis von \(Span(p,q,r)\). Dazu suchen wir eine größtmögliche linear unabhänige Teilmenge von \( \{p,q,r\} \). Diese bildet dann schon die gesuchte Basis.

Die Vektoren \(p,q\) und \(r\) sind nicht linear unabhängig, denn \( 1p+1q+(-3)r=0 \) ist eine nicht-triviale Linearkombination der Null.

Wir lassen nun einen der Vektoren weg, beispielsweise \(p\), und machen mit den Vektoren \(q\) und \(r\) weiter. Diese sind nun linear unabhängig, denn die Gleichung \( (-2\lambda_2)x^2+(2\lambda_1)x+(-\lambda_1-\lambda_2) = \lambda_1q + \lambda_2r=0 \) führt nach Koeffizientenvergleich nur zur trivialen Lösung \( \lambda_1 = \lambda_2=0\).

Also bildet \((q,r)\) eine Basis von \(Span(p,q,r)\).