Basis berechnen

Aufrufe: 107     Aktiv: vor 2 Wochen, 1 Tag

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Hi Leute,

ich soll hier eine Basis vom Span berechnen. Wie gehe ich am besten vor? Ist es nicht das gleiche? Wenn mir jemand den Unterschied zwischen Span, Basis und Familie und vielleicht noch Dimension erklären könnte, wäre ich gerettet ... Bin voll verwirrt :D 

 

gefragt vor 2 Wochen, 2 Tage
k
kamil,
Student, Punkte: 208
 

Bei deiner Rechnung fehlt eine Nullspalte. Du musst die Linearkombination ja gleich Null setzen, sonst erhältst du überhaupt kein Gleichungssystem.   -   anonym, vor 2 Wochen, 2 Tage

Yo.
Und wie ist hier der konkrete Fall? Wem soll ich in ein Parameter verwandeln, ?
  -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

Hier ist die Wahl quasi egal. Ich würde \( \lambda_1 = t \) setzen und dann erhält man \( \lambda_2 = t \) und \( \lambda_3 = -3t \). Die Lösungsmenge ist also \( L = Span \{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} \} \). Eine nicht-triviale Lösung wäre also beispielsweise \( 1p+1q-3r=0 \) (das ist auch die Lösung, die ich in meiner Antwort geschrieben habe).   -   anonym, vor 2 Wochen, 2 Tage

Das ist jetzt eine Lösung? Der ist ja die einzige lineare abhängige Lösungsmenge.

Darunter steht, ich soll die Lösung als Liste eingeben in Abhängigkeit von Polynomen. Da sind 2 Stück angegeben. Heißt das jetzt, ich soll eine Gleichung wegstreichen und zwei beliebige aufschreiben, z.B. die Gleichungen q(x) u no r(x)? Das ist dann die Basis von V?
  -   kamil, vor 2 Wochen, 1 Tag

Ich hab ja in meiner Antwort geschrieben, wie man auf eine Basis kommt. Eine mögliche Basis ist \( (q,r) \). Du kannst also als Lösung [2*x-1, -2*x^2-1] eingeben.   -   anonym, vor 2 Wochen, 1 Tag
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2 Antworten
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Hallo, ein Span musst du dir so vorstellen: Ein Vektor spannt eine Gerade auf, zwei Vektoren die in unterschiedliche Richtungen zeigen (linear unabhängig) spannen eine Ebene auf und drei lienar unabhängige Vektoren spannen einen ganzen Raum auf.

Die Basis eines Erzeugendensystems sind nun linear unabhängige Vektoren, die den Raum/Ebene/Gerade aufspannen.

Nun bestimmen wir:

\(\rm{Span}(p,q,r)=\rm{Span}\left(\begin{pmatrix}-6\\-2\\-2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\2\\-1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-2\\0\\-1\end{pmatrix}\right)\)

solange die drei Polynome linear unabhängig sind, spannen sie den ganzen \(\mathcal{P}_2=\{ax^2+bx+c|a,b,c\in\mathbb{R}\}\) auf.

Wenn sie zwei Polynome linear abhängig wären, würden nur die Linearkombinationen der linear unabhängigen Polynome aufgespannt werden.

Falls \(\mathcal{P}_2\) aufgespannt wird kannst du einfach die Standardbasis verwenden: \(\{e_1,e_2,e_3\}=\{x^2,x,1\}\).

Die Dimension gibt einfach die Anzahl der Elemente in einer Basis an.

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
h
holly verified
Student, Punkte: 2.52K
 
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Zunächst klären wir mal die Begrifflichkeiten. Sei \(V\) ein \(K\)-Vektorraum.

Eine Familie \( (v_i)_{i \in I} \) von Vektoren aus \(V\) ist eine Folge von Vektoren \(v_i \in V\) mit beliebiger Indexmenge \(I\).

Der Span (oder auch lineare Hülle genannt) von einer endlichen Familie \( (v_1, \dots, v_n) \) von Vektoren aus \(V\) ist definiert als \( Span( v_1, \dots, v_n ) = \{ \lambda_1v_1 + \dots + \lambda_nv_n \vert \lambda_1, \dots, \lambda_n \in K \} \), besteht also genau aus den Vektoren von \(V\), die sich als Linearkombination der Vektoren \( (v_1, \dots, v_n) \) schreiben lassen.

Eine Basis von \(V\) ist eine Familie von Vektoren aus \(V\), die linear unabhängig und deren Span gleich \(V\) ist.

Die Dimension eines Vektorraums ist die Länge einer Basis (Ein Vektorraum hat in der Regel mehrere Basen, aber die Länge der Basen ist dabei immer gleich).

Nun zur Aufgabe: Gesucht ist eine Basis von \(Span(p,q,r)\). Dazu suchen wir eine größtmögliche linear unabhänige Teilmenge von \( \{p,q,r\} \). Diese bildet dann schon die gesuchte Basis.

Die Vektoren \(p,q\) und \(r\) sind nicht linear unabhängig, denn \( 1p+1q+(-3)r=0 \) ist eine nicht-triviale Linearkombination der Null.

Wir lassen nun einen der Vektoren weg, beispielsweise \(p\), und machen mit den Vektoren \(q\) und \(r\) weiter. Diese sind nun linear unabhängig, denn die Gleichung \( (-2\lambda_2)x^2+(2\lambda_1)x+(-\lambda_1-\lambda_2) = \lambda_1q + \lambda_2r=0 \) führt nach Koeffizientenvergleich nur zur trivialen Lösung \( \lambda_1 = \lambda_2=0\).

Also bildet \((q,r)\) eine Basis von \(Span(p,q,r)\).

geantwortet vor 2 Wochen, 2 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

Ich verstehe die Rechnung garnicht. Wie kommt man auf 1p+1q-3r und auf die ganzen Lamdas   -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

Schau dir am besten noch mal an, wie man Vektoren auf lineare Unabhängigkeit prüft. Wenn du das verstanden hast, dann müssten die Rechnungen eigentlich klar sein.   -   anonym, vor 2 Wochen, 2 Tage

Ich habe mir paar Videos angeguckt. Man muss gaußen und die Lamdas ausrechnen. Aber wie kommt man auf 1p+1q-3s?   -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

Das hab ich durch hinschauen gesehen.   -   anonym, vor 2 Wochen, 2 Tage

Wo hast du hingeschaut, ich will auch.

Ich habe des Weiteren gegaußt, und komme auf eine 0 Zeile. In einem Video habe ich erfahren, dass ich dafür eine Zeile als Parameter wählen soll. Aber welche, wie mache ich weiter?
  -   kamil, vor 2 Wochen, 2 Tage

Ich hab die Linearkombination durch anschauen der Vektoren/Polynome sofort gesehen. Mit der Zeit entwickelt man da einen bestimmten Blick für. Aber man kann es natürlich auch ganz technisch mit dem Gauß-Verfahren machen.

Wenn du beim Gauß-Verfahren zu einer Nullzeile kommst, dann ist das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar. Du erhältst also mehrere Lösungen. Dafür führt man meist einen neuen Parameter ein und stellt die Unbekannten in Abhängigkeit von diesem Parameter dar. Wie man das genau macht, hängt immer vom konkreten Fall ab.
  -   anonym, vor 2 Wochen, 2 Tage
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