Das ist ein typischer Anwendungsfall des Banachschen Fixpunktsatzes. Betrachtet man die Funktion \(f(x) = x^2+ \frac14\), so gilt `a_(n+1) = f(a_n)`. Da `f` stetig ist gilt für einen eventuellen Grenzwert `a`: `a = f(a)`. Der Grenzwert ist also ein Fixpunkt von `f`. Das führt auf die Gleichung \(a = a^2 + \frac 14\), mit der einzigen Lösung \(x = \frac12\). 

Nach dem Banachschen Fixpunktsatz konvergiert die Folge gegen den Fixpunkt, wenn es ein abgeschlossenes Intervall gibt, das durch `f` in sich abgebildet wird und auf dem `f` eine Kontraktion ist, das heißt, es gibt eine Konstante `L< 1`, so dass `|f(x_1)-f(x_2)| \le L*|x_1 - x_2|` für alle `x_1, x_2` in dem Intervall gilt.

Zuerst kann man beweisen, dass \(a_n\) positiv ist und streng monoton steigt.

Nun kann man mit Widerspruch zeigen, dass \(\frac12\) eine obere Grenze ist:

Für ein \(n\in\mathbb{N}\) gelte: \(a_{n+1}>\frac12\)
\(\Rightarrow a_n^2+\frac14>\frac12\Rightarrow a_n>\frac12\)
\(\Rightarrow a_{n-1}>\frac12\Rightarrow\dots\Rightarrow a_0>\frac12\)

Es fehlt nur noch zu zeigen, dass es keine niedrigere obere Grenze gibt.

Bei einem solchen Problem gehst du erst einmal davon aus, dass der Grenzwert existiert. 

Wenn n gegen unendlich läuft und ein Grenzwert existieren sollte gilt: \(a_n = a_{n+1}=g\).

g steht dabei für den Grenzwert. MIt dieser Hilfestellung solltest du den Grenzwert berechnen können. 

Jetzt musst du aber noch zeigen, dass die Folge konvergiert, also immer näher an den Grenzwert ranrückt, diesen aber nie erreicht. Das musst zu zeigen, da du ja nur angenommen hast, dass der Grenzwert konvergiert. Um das zu lösen, kannst du dir überlegen, wie \(a_n \ und \  a_{n+1}\) miteinander in Verbindung stehen, damit sich die Folge diesem Grenzwert nähert.

Ich hoffe, dass du mit diesen Tipps die Aufgabe lösen kannst. Wenn dir noch etwas unklar ist, kannst du dich gerne noch einmal bei mir melden oder dir z.B. das Video anschauen: