Orthonormalbasis

Aufrufe: 641     Aktiv: 21.05.2020 um 15:15
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Hallo,

Ich hab einen Unterraum gegeben der aus 3 linear abhängigen Vektoren aufgespannt ist. Davon habe ich schon die Basis bestimmt (die aus 2 Vektoren besteht). Jetzt soll die Orthonormalbasis bestimmt werden. Habe ich auch gemacht nur ich bin mir unsicher. 2 von den Vektoren aus dem Unterraum stehen 90° aufeinander. Hat das eine Auswirkung auf die ONB. Meine ONB besteht jetzt aus 3 Vektoren. Ist das richtig? Oder kann man das jetzt so nicht sagen?

Danke :)

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die 2 vektoren aus dem unterraum die 90° aufeinander stehen (bzw orthogonal zueinander sind) bilden dann doch schon mal eine orthogonale basis. denn da ja die dim vom unterraum 2 ist, und aus orthogonalität lineare unabhängigkeit folgt (außer natürlich 0 vektor), müssen die beiden vektoren schon den unterraum aufspannen.

um daraus jetzt noch eine onb zu bauen, musst du nur noch die beiden vektoren normieren, also durch ihre norm teilen.

ich versteh nicht genau wieso du sagst, dass du jetzt ja 3 vektoren in deiner onb hast
wenn dir der text oben (oder der von eckebrecht) noch nicht geholfen hat, schick am besten mal ein bild von dem was du gemacht hast :)

 

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Student, Punkte: 2.33K

 
Dann besteht deine ONB aber nur aus 2 Vektoren. In einer Basis sind per Definition nur linear unabhängige Vektoren. Das heißt die zwei unabhängigen bilden die Basis, den linear abhängigen brauchst du für die ONB nicht.   ─   eckebrecht 21.05.2020 um 14:41
hattet ihr nicht in der VL das gram schmidt verfahren?   ─   b_schaub 21.05.2020 um 14:50
schau dir nochmal an wie ihr das in VL besprochen habt, das verfahren lässt sich nämlich generell nur für linear unabhängige vektoren anwenden   ─   b_schaub 21.05.2020 um 14:55
um eine ONB eines unterraumes zu bauen gehst du folgendermaßen vor:
erst baust eine basis vom unterraum (also eine linear unabhängige und aufspannende familie von vektoren)
dann wendest du gram schmidt auf diese basis an   ─   b_schaub 21.05.2020 um 15:00
in deinem fall besteht der unterraum aus dem spann von 3 lin abh vektoren. der spann lässt sich aber auch durch 2 lin unabh vektoren erzeugen, dementsprechend bilden diese 2 vektoren eine basis von dem unterraum. also kannst du gram schmidt auf diese basis anwenden.
da gram schmidt als vorraussetzung zur anwendbarkeit ein lin unabh system von vektoren braucht, würdest du beim verwenden von 3 lin abh vektoren nicht zu einer onb kommen.
   ─   b_schaub 21.05.2020 um 15:02

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Hm also wenn du einen Raum hast, dessen Basis nur aus 2 Vektoren besteht, hat der Raum eine Dimension von 2. Entsprechend besteht jede Basis dieses Raumes aus nur 2 Vektoren. Wenn du jetzt eine ONB hast mit 2 linear unabhängigen Vektoren die senkrecht aufeinander stehen, dann müsste das eigentlich schon die komplette Basis sein. Der dritte muss dann irgendwie im Spann der anderen beiden liegen, sofern dieser auch aus dem Unterraum ist. 

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