Grenzwertsatz

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Alle Informationen sind im Bild enthalten, für Hilfe wäre ich wie schon erwähnt sehr dankbar :D

 

gefragt vor 2 Wochen, 1 Tag
m
 
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1 Antwort
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Der Hinweis erscheint mir zu kompliziert, also werde ich in der folgenden Lösung darauf verzichten.

Wir betrachten zunächst die Funktion \(f: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+, u \rightarrow u^q \). Die Folge \(a\) ist nach unten durch \(0\) beschränkt und somit muss auch für den Grenzwert \(x \ge 0\) gelten. Da die Funktion stetig ist und man \(x\) dort einsetzen darf, erhält man \( \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: f(B_{\delta}(x)) \subset B_{\varepsilon}(f(x)) = B_{\varepsilon}(x^q) \). (Das ist einfach nur eine Umformulierung der \(\varepsilon\)-\(\delta\)-Definition für Stetigkeit im Punkt \(x\))

Dass die Folge \(a\) konvergent gegen \(x\) ist, bedeutet \( \forall \delta > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_0: a(n) \in B_{\delta}(x) \) (das ist eine einfache Umformulierung der Definition des Grenzwertes) und somit \( (a(n))^q = f(a(n)) \in f(B_{\delta}(x)) \).

Insgesamt erhalten wir also \( \forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_0: (a(n))^q \in f(B_{\delta}(x)) \subset B_{\varepsilon}(x^q) \) oder anders ausgedrückt \( \forall \varepsilon > 0 \ \exists n_0 \in \mathbb{N} \ \forall n \ge n_0: (a(n))^q \in B_{\varepsilon}(x^q) \). Also konvergiert die Folge \(a^q\) gegen den Grenzwert \(x^q\).

geantwortet vor 2 Wochen
g
anonym
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