Schnittmenge von nichtleeren kompakten Teilmengen ist nicht die leere Menge

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Halli Hallo!

Ich sitze gerade an einer Aufgabe zu der ich einen Tipp brauche. Es sind nichtleere kompakte Teilmengen A_n gegeben eines metrischen Raumes und A_(n+1) ist jeweils echte Teilmenge von A_n für alle n aus lN. Und ich soll mittels Folgenkompaktheit zeigen, dass die Schnittmenge von A_n ungleich der leeren Menge ist.

Ich hab mir gedacht, die Schnittmenge kann ja nur die leere Menge sein, wenn eine eine der Teilmengen A_n die leere Menge ist und nach Vor. sind die Teilmengen nichtleer also im Umkehrschluss, muss doch etwas in der Schnittmenge liegen. 

Ich glaube nur, dass das so nicht richtig ist, weil ich mit der Folgenkompaktheit arbeiten sollte. Kann mir da vielleicht jemand helfen? 

 

gefragt vor 1 Woche
c
 
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1 Antwort
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die frage ist auf jeden fall berechtigt

du willst ja zeigen, dass die schnittmenge nicht-leer ist. dafür müssen wir die existenz eines elements nachweisen, das in der schnittmenge liegt. 

deine kontrapositionsidee funktioniert insofern nicht, dass das nicht der einzige fall ist, in dem in der schnittmenge kein element liegen muss. bspw könnten die mengen ja auch einfach nicht kompakt sein oder die mengen könnte nicht immer echte teilmengen sein - vielleicht liegt dann ja auch nicht mehr unbedingt ein element im schnitt. 
wenn du den kontrapositionsbeweis machen würdest, müsstest du also mehrere sachen zum widerspruch führen, wobei das mit dem nicht-leer wohl noch der einfachste der fälle wäre.

aber deine grundsätzliche intuition ist ja schon richtig. versuch mal eine folge a_n zu bauen bei der die jeweiligen folgenglieder in A_n liegen - wir wissen ja, dass in A_n immer mind ein element gibt, also ist die folge wohldefiniert. probier den rest mal selbst :) 

geantwortet vor 1 Woche
a
aufjedebewertungeinschnaps
Student, Punkte: 1.07K
 

Darf ich nicht davon ausgehen, dass nur weil A_n kompakt ist, jede ihrer Teilmengen deswegen auch kompakt ist?   -   carolin.diewolke.freenet.de, vor 1 Woche

ne (siehe zb [0,1] und (0,1) ) aber was wäre denn deine idee?   -   aufjedebewertungeinschnaps, vor 1 Woche
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