Man macht einfach ein paar Überlegungen und schließt dadurch Fälle aus. Von dem, was übrig bleibt, überprüft man dann, dass die Implikation gilt.

Wenn \(v \le 0 \) ist, dann führt \( u < v \) zu \( \vert u \vert > \vert v \vert \). Also ist die gewünschte Implikation nicht gültig. Es muss also \(v>0\) sein.

Wenn nun \(u \le -v\) ist (\(v\) können wir nach obiger Überlegung als positiv ansehen), dann ist automatisch \( u < v \) erfüllt und es gilt \( \vert u \vert \ge \vert v \vert \). Also liefert auch dieser Fall nicht die gewünschte Implikation. Es muss also \( u > -v \) sein.

Und tatsächlich sind diese Bedingungen auch hinreichend. Wenn \(v>0\) und \( u > -v \) ist, dann führt \( u < v \) zu \( \vert u \vert < \vert v \vert \).