Das Verdichtungskriterium besagt das die zwei reihen

S = \sum_k a_k 

T = \sum_k 2^k a_{2^k}

das selbe Konvergenzverhalten haben.

Bsp Harmonischereihe 

a_k = 1/k 

Wir wollen untersuchen ob S konvergiert.

Da S und T das selbe Konvergenzverhalten haben, konvergiert S genau dann wenn T konvergiert.

Wir prüfen also das Verhalten von T

T = \sum_k 2^k a_{2^k}.

Da a_{2^k} = 1/(2^k)

Damit ist T = \sum_k 2^k * 1/(2^k)

da 2^k * 1/(2^k) = 1 ist T = \sum_k 1.

Damit divergiert T und somit divergiert auch S.

Damit haben wir bewiesen, dass die harmonische Reihe divergiert.