Konvergenzradius

Aufrufe: 42     Aktiv: vor 1 Woche, 6 Tage

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Hi, ich würde gerne von der Reihe n --> unendlich:  2^n + 4 / 3^n  den Konvergenzradius ausrechnen nur verstehe nicht wie man bei sowas vorgeht. Könnte mir jemand helfen ? wäre klasse :) 

 

gefragt vor 1 Woche, 6 Tage
a
alex32422,
Student, Punkte: 10
 

Da kann etwas nicht stimmen. In dem Ausdruck ist gar keine freie Variable.   -   anonym, vor 1 Woche, 6 Tage

Reihe n --> unendlich: 2^n + 4 / 3^n *z^2^n sorry hatte das z vergessen   -   alex32422, vor 1 Woche, 6 Tage
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1 Antwort
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Mit der Formel von Cauchy-Hadamard folgt

\(r = \frac{1}{ lim \ sup_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \vert a_n \vert } } = \frac{1}{ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ \vert 2^n + \frac{4}{3^n} \vert } } = \frac{1}{2} \)

geantwortet vor 1 Woche, 6 Tage
g
anonym
Student, Punkte: 1.5K
 

So war auch mein Gedanke aber somit habe ich doch dann die n-te Wurzel von der 4 oder nicht ?   -   alex32422, vor 1 Woche, 6 Tage

Das ist jetzt etwas ungenau formuliert, aber der Term \( \frac{4}{3^n} \) verschwindet quasi im Limes.   -   anonym, vor 1 Woche, 6 Tage

Ok dann hab ich es verstanden danke :)   -   alex32422, vor 1 Woche, 6 Tage

Man kann das auch formal zeigen: Es gilt die Abschätzung
\( 2 = \sqrt[n]{ 2^n } \le \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } = 2 \cdot \sqrt[n]{ 1 + \frac{4}{6^n} } \le 2 (1 + \frac{4}{6^n} ) \)
Somit folgt mit dem Sandwich-Lemma
\( 2 = \lim_{n \to \infty} 2 \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } \le \lim_{n \to \infty} 2(1 + \frac{4}{6^n} ) = 2 \)
  -   anonym, vor 1 Woche, 6 Tage
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