(Twitter)
0
So war auch mein Gedanke aber somit habe ich doch dann die n-te Wurzel von der 4 oder nicht ?
─
alex32422
22.05.2020 um 20:15
Das ist jetzt etwas ungenau formuliert, aber der Term \( \frac{4}{3^n} \) verschwindet quasi im Limes.
─
42
22.05.2020 um 20:23
Ok dann hab ich es verstanden danke :)
─
alex32422
22.05.2020 um 20:29
Man kann das auch formal zeigen: Es gilt die Abschätzung
\( 2 = \sqrt[n]{ 2^n } \le \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } = 2 \cdot \sqrt[n]{ 1 + \frac{4}{6^n} } \le 2 (1 + \frac{4}{6^n} ) \)
Somit folgt mit dem Sandwich-Lemma
\( 2 = \lim_{n \to \infty} 2 \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } \le \lim_{n \to \infty} 2(1 + \frac{4}{6^n} ) = 2 \) ─ 42 22.05.2020 um 20:37
\( 2 = \sqrt[n]{ 2^n } \le \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } = 2 \cdot \sqrt[n]{ 1 + \frac{4}{6^n} } \le 2 (1 + \frac{4}{6^n} ) \)
Somit folgt mit dem Sandwich-Lemma
\( 2 = \lim_{n \to \infty} 2 \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ 2^n + \frac{4}{3^n} } \le \lim_{n \to \infty} 2(1 + \frac{4}{6^n} ) = 2 \) ─ 42 22.05.2020 um 20:37