Hallo ich bin in Klasse 10 einer Gesamtschule und da wir gerade keinen Unterricht haben wollte ich mal probieren ein paar Wettbewerbsprobleme auf meinem Level zu lösen. Allerdings habe ich diese Aufgabe versucht und mein Lösungsweg hat zu einem falschen Ergebnis geführt. Kann mir bitte jemand erklären warum?

Aufgabe 141013: https://www.olympiade-mathematik.de/pdf/block_al/14101_al.pdf

In einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem seien die Punkte A(− 1/2 ; 0) und B( 1/2 ; 0) gegeben.

a) Beweisen Sie, daß es möglich ist, die Koordinaten von vier Punkten Pi (i = 1, 2, 3, 4) so anzugeben, daß für die Menge dieser vier Punkte die folgenden Bedingungen erfüllt sind!

(1) Die Längen aller Strecken APi und BPi sind ganzzahlig.

(2) Es gibt keine Gerade, auf der drei der Punkte Pi liegen.

b) Beweisen Sie, daß es keine Menge aus mehr als vier Punkten Pi mit den Eigenschaften (1) und (2) gibt!

Mein Versuch:

(1)    Zwei Punkte auf der X-Achse, die ganzzahlig von einem der beiden Punkte (A,B)  entfernt sind, da die Punkte A und B ganzzahlig von einander entfernt sind. Als Beispiel P1(-1,5 ; 0) und P2(1,5 ; 0).

(      Zwei Punkte auf der Y-Achse, die die Eigenschaft \( \sqrt{(1/2)^2+y^2} \) = Ganzzahl erfüllen, da die Distanz ja mit dem Satz Pythagoras beschreiben lässt, wo x=a und y=b und c die Distanz ist. Ich nehme die Punkte P3(0;\( \sqrt{3} \)/2) und P4(0;-\( \sqrt{3} \)/2)

(2) Die Regel 2 bedeutet ungefähr das von den 4 Punkten immer nur 2 eine bestimmte x oder y Koordinate Teilen dürfen, da die X-Achse (y:0) und Y-Achse (x:0) jeweils schon 2 Punkte haben, müsste der 5 Punkt auf keiner der Achsen liegen. Unser P5 hat die Form P5(1/2+x ; y). Das heißt \( \sqrt{x^2+y^2} \) = Ganzzahl und \( \sqrt{(x+1)^2+y^2} \) = Ganzzahl. x ist hierbei die Distanz zwischen der X-Koordinate unsere Koordinate P5 und einen Punkt A oder B, während x+1 die Distanz zwischen dem anderen Punkt ist. Also muss x^2+y^2 = Quadratzahl (m) und x^2+y^2+2x+1 muss auch gleich einer Quadratzahl (n) sein. Anwendung vom Additionserfahren erhalten wir 2x+1=n-m. Nach dieser Logik müsste wenn wir für n=9 (3^2) und für m=4 (2^2) einsetzen, x=1 sein und da 1 +y^2 = 4 ->y^2=3 Dann müsste 1^2+3=4 und 1+1^2+3= eine andere Quadratzahl ergeben, aber 5 ist keine Quadratzahl. Ich finde den Fehler in meiner Rechnung nicht. Kann mir jemand bitte erklären was ich falsch gemacht habe und wie man diese Aufgabe eigentlich löst? Auf der Website ist keine Lösung zu dieser Aufgabe