Sattelpunkt berechnen

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heyo, nach vielen verzweifelten  und unbeatworteten Fragen von meiner Lehrerin versuche ich hier mal mein Glück. Wie berechne ich in einer Kurvendiskussion einen Sattelpunkt oder wie kann ich einen Sattelpunkt erkennen? Auch wenn mir jemand erklären könnte wie man den Definitions und Wetebereich berechnet wäre super.

 

gefragt vor 1 Woche, 3 Tage
m
maike.ksr,
Schüler, Punkte: 16
 
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2 Antworten
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Ein Sattelpunkt ist ein besonderer Wendepunkt. Für ihn gilt nicht nur f"(x) = 0 und f"'(x) ungleich 0, sondern auch f'(x) = 0. 

Wenn du nun Wendepunkte berechnest, arbeitest du ja mit der notwendigen (f"(x)=0) und der hinreichenden (f"'(x) ungleich 0) Bedingung. Um herauszufinden, ob dieser Wendepunkt möglicherweise ein Sattelpunkt ist, musst du die x-Stelle, die zu dem herausgefundenen Wendepunkt gehört, in die erste Ableitung einsetzen. Kommt dort der Funktionswert 0 heraus, weißt du, dass es sich um einen Sattelpunkt handelt.

Bsp.: f(x) = x^3 

1) notwendige Bedingung: f"(x) = 6x = 0    -> Lösung: x=0

2) hinreichende Bedingung: f"'(x) = 6 muss für x=0 ungleich null sein    -> ja, denn egal, welches x man einsetzt, es kommt immer 6 heraus

3) x=0 in die 1. Ableitung einsetzen: f'(0) = 3*0^2 = 0     -> die Wendestelle x=0 hat auch in der ersten Ableitung den Funktionswert 0

=> Es liegt also ein Sattelpunkt in der Funktion f bei x=0 vor

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
m
mg.02
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Der Definitionsbereich einer Funktion gibt an, was du alles für x einsetzen darfst. Meistens ist dieser uneingeschränkt, außer du hast bspw. eine Textaufgabe, bei der sich aus dem logischen Kontext ein begrenzter Definitionsbereich ergibt.

Auch kann es sein, dass der Funktionsterm einen Bruch enthält: Dabei musst du aufpassen, dass der Nenner niemals 0 ergibt, denn durch 0 zu teilen, ist nicht definiert. Zudem muss bei einer Funktion mit bspw. einer Quadratwurzel aufgepasst werden, denn der Radikand (also das, was unter dem Wurzelzeichen steht) darf niemals negativ werden, da man aus einer negativen Zahl keine Quadratwurzel ziehen kann. Insgesamt sind das also Sonderfälle, die den Definitionsbereich einschränken können.

Der Wertebereich einer Funktion gibt an, was alles als Funktionswert herauskommen kann. Am besten lässt du dir die Funktion im Taschenrechner zeichnen oder überlegst selbst mit Hilfe des Funktionsterms, wie die Funktion verläuft und welche Funktionswerte sie annimmt 

geantwortet vor 1 Woche, 3 Tage
m
mg.02
Schüler, Punkte: 785
 
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