Sei \( \varepsilon > 0\). Dann existiert ein \(n_0 \in \mathbb{N}\), sodass \( L- \varepsilon < \frac{a_{n+1}}{a_n} < L + \varepsilon\) für alle \(n \ge n_0\) ist.

Es gilt für \( n > n_0\):

\( \sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{ a_{n_0} \cdot \prod_{k=n_0}^{n-1} \frac{a_{k+1}}{a_k}} < \sqrt[n]{ a_{n_0} \cdot (L+ \varepsilon)^{n-n_0}} = \sqrt[n]{ a_{n_0} } \cdot (L+ \varepsilon)^{1- \frac{n_0}{n}} \)

Und somit

\( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{ a_{n_0} } \cdot (L + \varepsilon)^{1 - \frac{n_0}{n}} = L+ \varepsilon \)

Im Fall \(L=0\) erhalten wir für \( \varepsilon \rightarrow 0\) die Ungleichung \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le L \) und wegen \(a_n > 0\) gilt auch \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge 0 = L \), also insgesamt \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L \).

Für den Fall \(L>0\) nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass \( 0 < L - \varepsilon \) ist. Dann erhalten wir analog zur Abschätzung \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le L+ \varepsilon \) noch die Abschätzung \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge L- \varepsilon \). Und mit \( \varepsilon \rightarrow 0\) folgt hieraus \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L \).