Ableitung durch Grenzwertbildung

Erste Frage Aufrufe: 618     Aktiv: 24.05.2020 um 22:32
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Hey! Ich komme ziemlich gut voran, was Ableitungen angeht. Sowas wie f(x)=x^2+2x ist einfach, aber ich tue mich schwer damit, wenn Brüche dabei sind. Wir sollen mit Grenzwertbildung die Ableitung von f(x)=(4)/(5x) herausfinen. Ja, die Ableitung davon ist zwar f'(x)=-(4)/(5^2x) aber ich würde gerne wissen, wie man mit Hilfe von Lim h gegen 0, also mit (f(x+h)-f(x))/(h) zu dieser Ableitung kommt.

Wenn ich einsetze komme ich auf ((4)/(5(x+h)) + (4)/(5x)) / (h) aber weiter komme ich ehrlich gesagt nicht.

Ich würde mich riesig darüber freuen, wenn mir jemand mal erklären könnte, wie das Ableiten durch Grenzwertbildung bei Brüchen funktioniert.

Liebe Grüße

 

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Genau nach Definition vorgehen: Hier ist  \(\frac {f (x+h) -f(x)} {h} =(\frac{4} {5(x+h)} -\frac {4} {5x}) *\frac{1} {h} =\frac{ 4+5 *x - 5*4*(x+h)} {5x *5(x+h)}*(\frac{1} {h}) =\frac{-5*4*h} {5x*5(x +h)} *\frac{1} {h} =\frac{-4} {5x*(x+h)} \) für h==> 0 geht der Nenner gegen 5x^2

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Also ich bin da immer noch verwirrt. Wie kommt man auf das *(1/h)? Ich weiß, es ist eine Umschreibung aber wofür eignet sie sich? Dann verstehe ich auch die Schritte danach nicht. Gibt es da keinen vereinfachten Weg?   ─   yaskeet 24.05.2020 um 20:42
das 1/h ist das h im Nenner des 1. Ausdrucks und entsteht durch (x+h) - x   ─   scotchwhisky 24.05.2020 um 22:32

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Das dunktionieet genau wie bei polynomen

du willst lim (1/(x+h)-1/x)/h wenn man die konstante vor den limes zieht.

auf Hauptnenner bringen:

=(x/(x(x+h)) - (x+h)/(x(x+h)))/h  

Zusammenrechnen:

=(x-(x+h))/(x(x+h)h)= -h/(x^2h + xh^2)

Jetzt kannst du h kürzen 

-1/(x^2 + xh) und wenn du jetzt den limes für h gegen 0 ausrechnest bekommst du 

-1/x^2

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