Wir werden für beide Aufgaben offene Mengen suchen, die von unten konvergieren. Diese Mengen ergeben dann die gewünschte Überdeckung.

Zu 1) Wir definieren zunächst die Funktion \(f: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) durch \(f(x,y,z)=x+y+z\). Nun sei \( \{f \neq 0\} = \{ (x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \vert f(x,y,z) \neq 0 \} \) und analog definieren wir \(\{f=0\} \). Da \(f\) stetig ist, muss \( \{f \neq 0\} \) offen sein. Für \(n \in \mathbb{N} \) ist also der Schnitte \(B_{1- \frac{1}{n}}(0) \cap \{f \neq 0\} = B_{1-\frac{1}{n}}(0) \setminus \{f=0\} \) offen. Damit erhalten wir die offene Überdeckung

\( D \subset \cup_{n=1}^{\infty} (B_{1- \frac{1}{n}} (0) \setminus \{f=0\}) \)

Diese Überdeckung besitzt keine endliche Teilüberdeckung, denn eine endliche Überdeckung müsste Teilmenge von einem \( B_{1- \frac{1}{k}} (0) \setminus \{f=0\} \) für ein hinreichend großes \(k\) sein. Aber es gilt \( (1-\frac{1}{2k}, 0, 0) \in D \) und \( (1-\frac{1}{2k}, 0, 0) \notin B_{1- \frac{1}{k}}(0) \setminus \{f=0\} \).

Zu 2) Wir definieren die Funktion \( g: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \) durch \(g(x,y)=y\). Diese Funktion ist stetig und somit ist \( \{g \neq 0\} \) offen. Beachte dass \( \{g \neq 0\} \) fast schon \(E\) überdeckt. Den Rest \( \{g \neq 0\} \setminus E = (0,1) \times \{0\} \) können wir nun geschickt überdecken mit den offenen Mengen \( V_n=(\frac{1}{n},1) \times (- 1, 1) \). Insgesamt erhalten wir also die offene Überdeckung

\( E \subset \cup_{n=1}^{\infty} (V_n \cup \{g \neq 0\}) \)

Diese Überdeckung besitzt keine endliche Teilüberdeckung, denn eine endliche Überdeckung müsste Teilmenge von einem \( V_k \cup \{g \neq 0\}\) für ein hinreichend großes \(k\) sein. Aber es gilt \( (\frac{1}{2k},0) \in E \) und \( (\frac{1}{2k},0) \notin V_k \cup \{g \neq 0\}\).